Seja [X) a quantidade de tempo que um livro retirado em um sistema de “empréstimo de duas horas” leva para ser devolvido, e suponha que a f.d.a. seja
F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ \frac{x^{2}}{4}, & 0 \leq x<2 \\\\ 1, & x \geq 2\end{cases}
Usando apenas (F(x)], responda os seguintes itens:
Qual é a mediana da duração do empréstimo?

Passo 1

O enunciado dá a função distribuição acumulada (f.d.a.) de X\): \[F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ \dfrac{x^{2}}{4}, & 0 \leq x<2 \\\\ 1, & x \geq 2\end{cases}
A pergunta é: qual é a mediana da duração do empréstimo?
Informações relevantes que temos:
  • A f.d.a. foi fornecida para todas as regiões de x\]. - A mediana é um valor de \(x relacionado à probabilidade acumulada F(x).

Passo 2

Definição prática de mediana para variáveis contínuas: a mediana m é o número tal que metade da massa de probabilidade está à esquerda e metade à direita. Em termos de F, uma definição conveniente é buscar m que satisfaça
F(m)=\tfrac{1}{2}.
Aqui podemos usar F(m)=\tfrac{1}{2} porque a f.d.a. dada é contínua (é dada por \tfrac{x^{2}}{4} em [0,2) e atinge 1 em 2, sem saltos), então esse ponto resolverá exatamente a condição de mediana.

Passo 3

Como \tfrac{1}{2} está entre 0 e 1, a mediana deve ocorrer na parte da f.d.a. onde 0\le x<2, onde
F(x)=\dfrac{x^{2}}{4}.
Logo precisamos resolver a equação
\dfrac{x^{2}}{4}=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Resolver a equação passo a passo:
\dfrac{x^{2}}{4}=\tfrac{1}{2}
multiplicando ambos os lados por 4:
x^{2}=2.
Tomando raiz quadrada (lembrando que x\ge 0 pela definição de suporte),
x=\sqrt{2}.

Passo 5

Verificações finais e unicidade:
  • \sqrt{2}\approx 1{,}414 está dentro do intervalo [0,2), portanto é uma solução válida na região correta da f.d.a.
  • A f.d.a. é estritamente crescente em [0,2], então a mediana é única.

Resposta

\sqrt{2}

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