Deixa-se cair um corpo de 10 slugs de massa de uma altura de 1000 pés sem velocidade inicial. A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. Se a velocidade limite é de 320 pés/s, determine (a) uma expressão para a velocidade do corpo no instante
, e © o tempo necessário para o corpo atingir a velocidade de 160 pés/s.
Passo 1
O enunciado: temos um corpo de massa 10 slugs lançado do repouso (velocidade inicial zero) e sujeito ao peso e a uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, com velocidade limite de 320 ft/s. O conteúdo que vamos usar é a modelagem por equação diferencial de primeira ordem e o conceito de velocidade terminal.
Passo 2
Montamos a equação de movimento pela 2ª lei de Newton: massa vezes aceleração (m
dv/dt) igual à resultante peso menos resistência. Assim,
dv/dt) igual à resultante peso menos resistência. Assim,
onde escolhemos g=32 ft/s². A velocidade limite V_t satisfaz mg/k=V_t, logo,
Passo 3
Dividindo por m e reorganizando, obtemos a ODE em forma padrão:
Passo 4
Resolvendo essa equação linear pelo fator integrante: a solução geral é a soma da parte homogênea e de uma particular. Descobrimos
mas a parte particular é constante V_t=320. Impondo a condição inicial v(0)=0, achamos C=-320. Logo,
Passo 5
Para achar o tempo em que v=160 ft/s, basta resolver
Resposta
A expressão da velocidade é
e o tempo para atingir 160 ft/s é
s.