Deixa-se cair um corpo de 10 slugs de massa de uma altura de 1000 pés sem velocidade inicial. A resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. Se a velocidade limite é de 320 pés/s, determine (a) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t, e © o tempo necessário para o corpo atingir a velocidade de 160 pés/s.

Passo 1

O enunciado: temos um corpo de massa 10 slugs lançado do repouso (velocidade inicial zero) e sujeito ao peso e a uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, com velocidade limite de 320 ft/s. O conteúdo que vamos usar é a modelagem por equação diferencial de primeira ordem e o conceito de velocidade terminal.

Passo 2

Montamos a equação de movimento pela 2ª lei de Newton: massa vezes aceleração (m
dv/dt) igual à resultante peso menos resistência. Assim,
10,dvdt=10cdot32 - k,v,
onde escolhemos g=32 ft/s². A velocidade limite V_t satisfaz mg/k=V_t, logo,
k=mgVt=10cdot32320=1(slug/s)

Passo 3

Dividindo por m e reorganizando, obtemos a ODE em forma padrão:
dvdt+kmv= gLongrightarrowdvdt+110v=32

Passo 4

Resolvendo essa equação linear pelo fator integrante: a solução geral é a soma da parte homogênea e de uma particular. Descobrimos
v(t)=C e^-t/10+Vt,
mas a parte particular é constante V_t=320. Impondo a condição inicial v(0)=0, achamos C=-320. Logo,
v(t)=320l(1-e^-t/10r)

Passo 5

Para achar o tempo em que v=160 ft/s, basta resolver
160=320l(1-e^-t/10r)Longrightarrow e^-t/10=tfrac12Longrightarrow t=10ln2approx6,93s

Resposta

A expressão da velocidade é v(t)=320l(1-e^-t/10r) e o tempo para atingir 160 ft/s é t=10ln2approx6,93 s.

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