Deixa-se cair uma esfera com densidade \rho=0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} de uma altura de 30 cm em cima da superfície livre da água de um poço. Calcule a profundidade que a esfera atingirá dentro da água.

Passo 1

O enunciado diz: solta-se uma esfera com densidade \rho_{\text{esfera}}=0{,}8\\ \mathrm{g/cm^{3}} de uma altura de 30\\ \mathrm{cm} sobre a superfície livre da água de um poço. A pergunta é: qual a profundidade que a esfera atingirá dentro da água? \n
Dados relevantes fornecidos:
  • \rho_{\text{esfera}} = 0{,}8\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • densidade da água (que vamos usar) \rho_{\text{água}} = 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}á.
  • altura de queda 30\\ \mathrm{cm} (valor dado no enunciado).
    O que se pede explicitamente: a profundidade de imersão que a esfera “atingirá” dentro da água (ou seja, até onde ela ficará imersa quando atingir o equilíbrio estático, supondo que consideremos o estado final de flutuação).

Passo 2

Decisão e justificativa do método (explicação didática): vou usar o princípio de Arquimedes para determinar a imersão final (equilíbrio estático). Por que? O princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo que a água exerce sobre um corpo submerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. No equilíbrio estático (quando a esfera já não se movimenta verticalmente), o empuxo deve equilibrar exatamente o peso da esfera. \n
Observação sobre a altura de queda: o enunciado dá 30\\ \mathrm{cm}, que determina a velocidade de impacto, e portanto o movimento transitório (mergulho + oscilações). Porém o equilíbrio final de flutuação de uma esfera mais leve que a água depende só da razão entre as densidades (por Arquimedes), não da velocidade de chegada — a velocidade só influencia oscilações transitórias e perdas por arrasto. Como a pergunta pede a profundidade que a esfera “atingirá” dentro da água (interpretei como profundidade de equilíbrio estático), podemos determinar essa profundidade a partir de Arquimedes e da geometria da esfera, sem precisar do raio. Se o objetivo fosse a profundidade máxima atingida durante o choque transiente, precisaríamos do raio, massa, e dados de arrasto; como esses não foram dados, assumimos que querem o equilíbrio estático. Vamos então proceder com Archimedes.

Passo 3

Modelagem geométrica e fórmulas básicas (aula curta sobre volumes de esfera e calota esférica): \n
  • Volume total da esfera de raio R:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Quando a esfera está parcialmente imersa, o volume imerso é o volume de uma calota esférica de altura h (a altura da porção imersa medida a partir da parte superior da esfera até a linha d’água). A fórmula da calota de altura h numa esfera de raio R é
V_{\text{imersa}}=\frac{\pi h^{2}(3R-h)}{3},\qquad 0\le h\le 2R.
Explicando as variáveis: R é o raio da esfera; h é a altura da parte da esfera que está sob a superfície, medida a partir do topo da esfera até a superfície da água (se h=0 não há imersão; se h=2R a esfera está totalmente submersa).

Passo 4

Aplicando Arquimedes para achar a condição de equilíbrio estático: \n
No equilíbrio:
\text{empuxo} = \text{peso da esfera}.
Empuxo = \rho_{\text{água}} g V_{\text{imersa}}á. Peso = \rho_{\text{esfera}} g V_{\text{esfera}}. Cancelando g, obtemos
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{imersa}}=\rho_{\text{esfera}}\,V_{\text{esfera}}.á
Substituindo as fórmulas de volume:
\rho_{\text{água}}\cdot\frac{\pi h^{2}(3R-h)}{3}=\rho_{\text{esfera}}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.á
Cancelando \pi/3 dos dois lados e usando \rho_{\text{esfera}}/\rho_{\text{água}}=0{,}8á, obtemos
\frac{h^{2}(3R-h)}{4R^{3}}=0{,}8.
Defina a variável adimensional y=\dfrac{h}{R}. Substituindo e simplificando:
y^{2}(3-y)=3{,}2.
Reescrevendo em forma de polinômio:
y^{3}-3y^{2}+3{,}2=0.

Passo 5

Resolvendo a equação cúbica numericamente (método simplezinho e interpretável numa prova): \n
Vamos achar a raiz real positiva y de
f(y)=y^{3}-3y^{2}+3{,}2.
Testes rápidos mostram que f(1{,}4)\approx 0{,}064 (positivo) e f(1{,}5) é negativo ou maior em magnitude — então a raiz está perto de 1{,}42. Aplicando um passo de Newton (ou só refinando por tentativa), obtemos a raiz
y=\frac{h}{R}\approx 1{,}425\quad(\text{aproximadamente}).
Isto significa que a altura imersa em unidades do raio é h\approx 1{,}425\,R.

Passo 6

Interpretações práticas e formas alternativas de apresentar o resultado: \n
  • Em função do diâmetro D=2R, temos
h \approx 1{,}425\,R = \frac{1{,}425}{2}\,D \approx 0{,}7125\,D.
Ou seja, a esfera ficará imersa até cerca de 71{,}25\% do seu diâmetro (medido desde o topo da esfera até a linha d’água). \n
  • Verificação rápida: o volume imerso corresponde a 80\% do volume total da esfera, conforme a razão de densidades; a expressão geométrica que usamos traduz isso numa altura de calota h dada acima.

Resposta

h\approx 1{,}425\,R (altura da calota imersa, medida a partir do topo da esfera)\n
h\approx 0{,}7125\,D (equivalente: cerca de 71{,}25\% do diâmetro da esfera)

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