Deixa-se cair uma esfera com densidade
de uma altura de 30 cm em cima da superfície livre da água de um poço. Calcule a profundidade que a esfera atingirá dentro da água.
Passo 1
O enunciado diz: solta-se uma esfera com densidade
de uma altura de
sobre a superfície livre da água de um poço. A pergunta é: qual a profundidade que a esfera atingirá dentro da água? \n
Dados relevantes fornecidos:
Dados relevantes fornecidos:
-
. - densidade da água (que vamos usar)
. - altura de queda
(valor dado no enunciado).
O que se pede explicitamente: a profundidade de imersão que a esfera “atingirá” dentro da água (ou seja, até onde ela ficará imersa quando atingir o equilíbrio estático, supondo que consideremos o estado final de flutuação).
Passo 2
Decisão e justificativa do método (explicação didática): vou usar o princípio de Arquimedes para determinar a imersão final (equilíbrio estático). Por que? O princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo que a água exerce sobre um corpo submerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. No equilíbrio estático (quando a esfera já não se movimenta verticalmente), o empuxo deve equilibrar exatamente o peso da esfera. \n
Observação sobre a altura de queda: o enunciado dá , que determina a velocidade de impacto, e portanto o movimento transitório (mergulho + oscilações). Porém o equilíbrio final de flutuação de uma esfera mais leve que a água depende só da razão entre as densidades (por Arquimedes), não da velocidade de chegada — a velocidade só influencia oscilações transitórias e perdas por arrasto. Como a pergunta pede a profundidade que a esfera “atingirá” dentro da água (interpretei como profundidade de equilíbrio estático), podemos determinar essa profundidade a partir de Arquimedes e da geometria da esfera, sem precisar do raio. Se o objetivo fosse a profundidade máxima atingida durante o choque transiente, precisaríamos do raio, massa, e dados de arrasto; como esses não foram dados, assumimos que querem o equilíbrio estático. Vamos então proceder com Archimedes.
Observação sobre a altura de queda: o enunciado dá
Passo 3
Modelagem geométrica e fórmulas básicas (aula curta sobre volumes de esfera e calota esférica): \n
- Volume total da esfera de raio
:
- Quando a esfera está parcialmente imersa, o volume imerso é o volume de uma calota esférica de altura
(a altura da porção imersa medida a partir da parte superior da esfera até a linha d’água). A fórmula da calota de altura numa esfera de raio é
Explicando as variáveis:
é o raio da esfera;
é a altura da parte da esfera que está sob a superfície, medida a partir do topo da esfera até a superfície da água (se
não há imersão; se
a esfera está totalmente submersa).
Passo 4
Aplicando Arquimedes para achar a condição de equilíbrio estático: \n
No equilíbrio:
No equilíbrio:
Empuxo =
. Peso =
. Cancelando
, obtemos
Substituindo as fórmulas de volume:
Cancelando
dos dois lados e usando
, obtemos
Defina a variável adimensional
. Substituindo e simplificando:
Reescrevendo em forma de polinômio:
Passo 5
Resolvendo a equação cúbica numericamente (método simplezinho e interpretável numa prova): \n
Vamos achar a raiz real positiva de
Vamos achar a raiz real positiva
Testes rápidos mostram que
(positivo) e
é negativo ou maior em magnitude — então a raiz está perto de
. Aplicando um passo de Newton (ou só refinando por tentativa), obtemos a raiz
Isto significa que a altura imersa em unidades do raio é
.
Passo 6
Interpretações práticas e formas alternativas de apresentar o resultado: \n
- Em função do diâmetro
, temos
Ou seja, a esfera ficará imersa até cerca de
do seu diâmetro (medido desde o topo da esfera até a linha d’água). \n
- Verificação rápida: o volume imerso corresponde a
do volume total da esfera, conforme a razão de densidades; a expressão geométrica que usamos traduz isso numa altura de calota dada acima.