Supondo que a densidade
de água varie com a pressão
de acordo com a relação
, onde a pressão é medida em relação à superfície e
uma constante, determine uma expressão para a pressão como função da altitude.
Passo 1
O enunciado diz que a densidade da água varia com a pressão segundo
, onde
é constante e a pressão é “medida em relação à superfície”. A tarefa é obter uma expressão para a pressão em função da altitude (ou profundidade). Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A relação entre densidade e pressão é
. - A gravidade é
(assumo constante). - Devemos relacionar pressão e posição vertical. Vou chamar de
a coordenada vertical medida a partir da superfície; para ficar claro: tomo positivo para baixo (profundidade), que é a escolha comum em problemas de hidrostática quando queremos que a pressão aumente com . - “Pressão medida em relação à superfície” normalmente significa que a pressão na superfície é o valor de referência. Em termos práticos: se tomarmos pressão absoluta na superfície como
(por exemplo pressão atmosférica), então a pressão relativa (gauge) na superfície é . Vou explicar a consequência disso ao longo da resolução.
Passo 2
Vamos escrever a equação de equilíbrio hidrostático (força vertical sobre um pequeno volume de fluido). Considere uma lâmina de fluido de área
e espessura
localizada à profundidade
. As forças verticais são:
- força para baixo devido à pressão em
: , - força para cima devido à pressão em
: , - peso do elemento de fluido:
.
Equilíbrio (força vertical resultante zero) dá
Dividindo por
e passando para o limite
obtemos a forma diferencial da hidrostática. Assim
Aqui expliquei:
é a taxa de variação da pressão com a profundidade
;
é a densidade local e
a aceleração da gravidade.
Passo 3
Substituímos a relação dada
na equação hidrostática. Isso transforma a equação diferencial em uma equação para
:
Escrevendo de forma clara:
e
são constantes, então temos uma equação diferencial linear de primeira ordem com separação de variáveis.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevemos
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
(mais uma constante), e a do lado direito é
(mais constante). Assim
onde
é constante de integração. Exponenciando,
com
. Determinamos
a partir do valor da pressão na superfície (
). Se chamarmos esse valor de
(que pode ser a pressão absoluta na superfície, por exemplo
), então
Passo 5
Interpretações importantes e comentário físico (para você não se confundir na prova):
- Se você usar pressão gauge (medida em relação à superfície) e impor
em , então a condição inicial leva à solução trivial . Isso é uma consequência matemática: a equação com tem a solução nula. Fisicamente, a “pressão gauge” é zero na superfície por definição, mas aí a relação implicaria densidade nula na superfície — uma situação física estranha; por isso, ao usar é mais apropriado trabalhar com pressões absolutas (incluindo a pressão atmosférica no contorno superior). - Portanto a forma geral e útil na maioria dos contextos é
onde
é a pressão absoluta na superfície (por exemplo
). Isso mostra que a pressão cresce exponencialmente com a profundidade
quando a densidade é proporcional à pressão.
Resposta
(Observação: se você usar pressão gauge com