Supondo que a densidade \rho de água varie com a pressão P de acordo com a relação \rho=\alpha P, onde a pressão é medida em relação à superfície e \alpha uma constante, determine uma expressão para a pressão como função da altitude.

Passo 1

O enunciado diz que a densidade da água varia com a pressão segundo \rho=\alpha P, onde \alpha é constante e a pressão é “medida em relação à superfície”. A tarefa é obter uma expressão para a pressão em função da altitude (ou profundidade). Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A relação entre densidade e pressão é \rho=\alpha P.
  • A gravidade é g (assumo g constante).
  • Devemos relacionar pressão e posição vertical. Vou chamar de z a coordenada vertical medida a partir da superfície; para ficar claro: tomo z positivo para baixo (profundidade), que é a escolha comum em problemas de hidrostática quando queremos que a pressão aumente com z.
  • “Pressão medida em relação à superfície” normalmente significa que a pressão na superfície é o valor de referência. Em termos práticos: se tomarmos pressão absoluta na superfície como P_a (por exemplo pressão atmosférica), então a pressão relativa (gauge) na superfície é 0. Vou explicar a consequência disso ao longo da resolução.

Passo 2

Vamos escrever a equação de equilíbrio hidrostático (força vertical sobre um pequeno volume de fluido). Considere uma lâmina de fluido de área A e espessura dz localizada à profundidade z. As forças verticais são:
  • força para baixo devido à pressão em z: P(z)A,
  • força para cima devido à pressão em z+dz: P(z+dz)A,
  • peso do elemento de fluido: \rho\,A\,dz\,g.
    Equilíbrio (força vertical resultante zero) dá
P(z+dz)A - P(z)A - \rho A\,dz\,g = 0.
Dividindo por A e passando para o limite dz\to 0 obtemos a forma diferencial da hidrostática. Assim
\frac{dP}{dz} = \rho g.
Aqui expliquei: \frac{dP}{dz} é a taxa de variação da pressão com a profundidade z; \rho é a densidade local e g a aceleração da gravidade.

Passo 3

Substituímos a relação dada \rho=\alpha P na equação hidrostática. Isso transforma a equação diferencial em uma equação para P(z):
\frac{dP}{dz} = \rho g = \alpha P g.
Escrevendo de forma clara: \alpha e g são constantes, então temos uma equação diferencial linear de primeira ordem com separação de variáveis.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevemos
\frac{1}{P}\,dP = \alpha g\,dz.
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é \ln P (mais uma constante), e a do lado direito é \alpha g z (mais constante). Assim
\int \frac{1}{P}\,dP = \int \alpha g\,dz \quad\Rightarrow\quad \ln P = \alpha g z + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
P(z) = C' e^{\alpha g z},
com C' = e^{C}. Determinamos C' a partir do valor da pressão na superfície ( z=0). Se chamarmos esse valor de P(0)=P_0 (que pode ser a pressão absoluta na superfície, por exemplo P_a), então
P(z) = P_0\,e^{\alpha g z}.

Passo 5

Interpretações importantes e comentário físico (para você não se confundir na prova):
  • Se você usar pressão gauge (medida em relação à superfície) e impor P_0=0 em z=0, então a condição inicial P(0)=0 leva à solução trivial P(z)\equiv 0. Isso é uma consequência matemática: a equação \frac{dP}{dz}=\alpha g P com P(0)=0 tem a solução nula. Fisicamente, a “pressão gauge” é zero na superfície por definição, mas aí a relação \rho=\alpha P implicaria densidade nula na superfície — uma situação física estranha; por isso, ao usar \rho=\alpha P é mais apropriado trabalhar com pressões absolutas (incluindo a pressão atmosférica P_a no contorno superior).
  • Portanto a forma geral e útil na maioria dos contextos é
P(z)=P_0\,e^{\alpha g z},
onde P_0 é a pressão absoluta na superfície (por exemplo P_0=P_a). Isso mostra que a pressão cresce exponencialmente com a profundidade z quando a densidade é proporcional à pressão.

Resposta

P(z)=P_0\,e^{\alpha g z}

(Observação: se você usar pressão gauge com P_0=0, a solução é P(z)\equiv 0, por isso na prática usa-se P_0 como a pressão absoluta na superfície, por exemplo P_0=P_a.)

Exercícios relacionados