Um tubo em U contém mercúrio. Despejando água no ramo da direita até alcançar 13,6 \mathrm{~m} acima do mercúrio, de quanto subirá este, no outro ramo, em relação ao seu nível inicial?

Passo 1

O enunciado diz: um tubo em U contém mercúrio; despeja-se água no ramo da direita até que a superfície livre da água fique 13,6\\ \mathrm{m} acima do nível inicial do mercúrio. Pede-se: de quanto subirá o mercúrio no ramo esquerdo, em relação ao seu nível inicial?
Informações relevantes dadas:
\;13,6\\ \mathrm{m} — altura da coluna de água em relação ao nível inicial do mercúrio (conforme enunciado).
A hipótese implícita (padrão) que usaremos: as áreas transversais dos dois ramos do U são iguais, então quando o mercúrio se desloca ele sobe num ramo e desce no outro pela mesma distância x.
Não há outras forças externas além da gravidade e da pressão atmosférica, e a superfície livre da água e o ar acima do mercúrio estão à pressão atmosférica.

Passo 2

Vamos modelar o deslocamento do mercúrio. Seja x a distância que o mercúrio sobe no ramo esquerdo em relação ao nível inicial. Como as áreas dos ramos são iguais, o mercúrio desce a mesma distância x no ramo direito. Vou explicar por que isso é razoável: o mercúrio é incompressível e o volume deslocado para cima num ramo deve ser igual ao volume deslocado para baixo no outro ramo; com áreas iguais isso dá deslocamentos de mesma magnitude, só com sinais opostos.

Passo 3

Princípio físico que vamos usar: a pressão hidrostática varia com a profundidade segundo a fórmula
p = p_{0} + \rho g h,
onde p é a pressão no ponto, p_{0} é a pressão na superfície a partir da qual medimos (por exemplo, a pressão atmosférica), \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e h é a profundidade vertical medida a partir da superfície (altura da coluna de fluido sobre o ponto). Vou explicar cada símbolo: p_{0} (em Pa) é a pressão na superfície (aqui p_{0}=p_{\text{atm}}), \rho (em \mathrm{kg/m^{3}}) é a densidade do fluido (água ou mercúrio), g (em \mathrm{m/s^{2}}) é aproximadamente 9,8 e h (em m) é a altura da coluna acima do ponto considerado.
Como o mercúrio é contínuo entre os dois ramos, a pressão num mesmo nível horizontal dentro do mercúrio deve ser a mesma dos dois lados. Vou escolher como nível de referência o nível inicial do mercúrio (nivel zero). Depois do equilíbrio, esse nível referencial ficará a uma distância x abaixo da superfície do mercúrio do ramo esquerdo (porque o mercúrio subiu x lá) e a uma distância 13,6\\ \mathrm{m} acima da superfície livre da água? Atenção: a superfície livre da água, segundo o enunciado, ficou 13,6\\ \mathrm{m} acima do nível inicial do mercúrio; portanto a distância vertical do ponto de referência (nível inicial) até a superfície da água permanece 13,6\\ \mathrm{m}. Assim, o ponto referência está dentro da coluna de água do ramo direito (entre a superfície da água e a interfase água/mercúrio), e está dentro do mercúrio do lado esquerdo.

Passo 4

Agora escrevo as pressões no ponto de referência (nível inicial do mercúrio) vistas dos dois lados e igualo-as.
Do lado esquerdo: o ponto de referência está a uma profundidade x abaixo da superfície do mercúrio do ramo esquerdo. A pressão aí, partindo da atmosfera, é
p_{\text{esq}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}}\,g\,x,
onde \rho_{\text{Hg}} é a densidade do mercúrio.
Do lado direito: o ponto de referência está a 13,6\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre da água (porque a superfície da água está 13,6\\ \mathrm{m} acima do nível inicial). Assim a pressão no mesmo ponto vista pelo ramo direito é
p_{\text{dir}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{água}}\,g\, (13,6).á
Aqui \rho_{\text{água}}á é a densidade da água.
Igualando as pressões (pois é o mesmo ponto do mercúrio):
p_{\text{esq}} = p_{\text{dir}} \quad\Rightarrow\quad p_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}} g x = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{água}} g (13,6).á

Passo 5

Cancelamos p_{\text{atm}} dos dois lados e também g (não zero), ficando
\rho_{\text{Hg}}\,x = \rho_{\text{água}} \cdot 13,6.á
Isolando x:
x = \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{Hg}}}\cdot 13,6.á
Agora usamos a razão de densidades: a densidade do mercúrio é aproximadamente 13{,}6 vezes a da água, ou seja \dfrac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{água}}}=13{,}6á. Então
\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{Hg}}}=\frac{1}{13{,}6},á
portanto
x = \frac{1}{13{,}6}\cdot 13,6 = 1.

Passo 6

Interpretação física curta e encorajamento: a coluna de água de 13{,}6\\ \mathrm{m} exerce a mesma pressão que uma coluna de mercúrio de 1\\ \mathrm{m} (porque mercúrio é 13{,}6 vezes mais denso que a água). Por isso o mercúrio sobe 1\\ \mathrm{m} no outro ramo. Bom trabalho — é um resultado simples e elegante!

Resposta

1\\ \mathrm{m}

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