Um tubo em U contém mercúrio. Despejando água no ramo da direita até alcançar
acima do mercúrio, de quanto subirá este, no outro ramo, em relação ao seu nível inicial?
Passo 1
O enunciado diz: um tubo em U contém mercúrio; despeja-se água no ramo da direita até que a superfície livre da água fique
acima do nível inicial do mercúrio. Pede-se: de quanto subirá o mercúrio no ramo esquerdo, em relação ao seu nível inicial?
Informações relevantes dadas:
— altura da coluna de água em relação ao nível inicial do mercúrio (conforme enunciado).
A hipótese implícita (padrão) que usaremos: as áreas transversais dos dois ramos do U são iguais, então quando o mercúrio se desloca ele sobe num ramo e desce no outro pela mesma distância .
Não há outras forças externas além da gravidade e da pressão atmosférica, e a superfície livre da água e o ar acima do mercúrio estão à pressão atmosférica.
Informações relevantes dadas:
A hipótese implícita (padrão) que usaremos: as áreas transversais dos dois ramos do U são iguais, então quando o mercúrio se desloca ele sobe num ramo e desce no outro pela mesma distância
Não há outras forças externas além da gravidade e da pressão atmosférica, e a superfície livre da água e o ar acima do mercúrio estão à pressão atmosférica.
Passo 2
Vamos modelar o deslocamento do mercúrio. Seja
a distância que o mercúrio sobe no ramo esquerdo em relação ao nível inicial. Como as áreas dos ramos são iguais, o mercúrio desce a mesma distância
no ramo direito. Vou explicar por que isso é razoável: o mercúrio é incompressível e o volume deslocado para cima num ramo deve ser igual ao volume deslocado para baixo no outro ramo; com áreas iguais isso dá deslocamentos de mesma magnitude, só com sinais opostos.
Passo 3
Princípio físico que vamos usar: a pressão hidrostática varia com a profundidade segundo a fórmula
onde
é a pressão no ponto,
é a pressão na superfície a partir da qual medimos (por exemplo, a pressão atmosférica),
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade vertical medida a partir da superfície (altura da coluna de fluido sobre o ponto). Vou explicar cada símbolo:
(em Pa) é a pressão na superfície (aqui
),
(em
) é a densidade do fluido (água ou mercúrio),
(em
) é aproximadamente
e
(em m) é a altura da coluna acima do ponto considerado.
Como o mercúrio é contínuo entre os dois ramos, a pressão num mesmo nível horizontal dentro do mercúrio deve ser a mesma dos dois lados. Vou escolher como nível de referência o nível inicial do mercúrio (nivel zero). Depois do equilíbrio, esse nível referencial ficará a uma distância
abaixo da superfície do mercúrio do ramo esquerdo (porque o mercúrio subiu
lá) e a uma distância
acima da superfície livre da água? Atenção: a superfície livre da água, segundo o enunciado, ficou
acima do nível inicial do mercúrio; portanto a distância vertical do ponto de referência (nível inicial) até a superfície da água permanece
. Assim, o ponto referência está dentro da coluna de água do ramo direito (entre a superfície da água e a interfase água/mercúrio), e está dentro do mercúrio do lado esquerdo.
Passo 4
Agora escrevo as pressões no ponto de referência (nível inicial do mercúrio) vistas dos dois lados e igualo-as.
Do lado esquerdo: o ponto de referência está a uma profundidade
abaixo da superfície do mercúrio do ramo esquerdo. A pressão aí, partindo da atmosfera, é
onde
é a densidade do mercúrio.
Do lado direito: o ponto de referência está a
abaixo da superfície livre da água (porque a superfície da água está
acima do nível inicial). Assim a pressão no mesmo ponto vista pelo ramo direito é
Aqui
é a densidade da água.
Igualando as pressões (pois é o mesmo ponto do mercúrio):
Passo 5
Cancelamos
dos dois lados e também
(não zero), ficando
Isolando
:
Agora usamos a razão de densidades: a densidade do mercúrio é aproximadamente
vezes a da água, ou seja
. Então
portanto
Passo 6
Interpretação física curta e encorajamento: a coluna de água de
exerce a mesma pressão que uma coluna de mercúrio de
(porque mercúrio é
vezes mais denso que a água). Por isso o mercúrio sobe
no outro ramo. Bom trabalho — é um resultado simples e elegante!