Delineamento Experimental O experimento pode ser conduzido utilizando o Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC), adequado quando as unidades experimentais são consideradas homogêneas. Nesse caso, cada semente representa uma unidade experimental, e todas são submetidas às mesmas condições de germinação (mesmo substrato, temperatura, umidade e luminosidade). Inicialmente, selecionam-se 10 sementes de milho provenientes de um mesmo lote. Essas sementes são colocadas em condições controladas de germinação, de forma que cada semente tenha a mesma probabilidade de germinar. Assume-se também que a germinação de uma semente não interfere na germinação das demais, garantindo a independência entre as unidades experimentais. Nesse delineamento, a variável de interesse é binária, assumindo dois possíveis resultados para cada unidade experimental:
- 1 = germinou
- 0 = não germinou
Assim, o número total de sementes germinadas no experimento pode ser representado por uma variável aleatória X , que corresponde à soma dos sucessos (sementes germinadas) nas 10 tentativas independentes.
Nessas condiçõe, X pode ser modelada pela distribuição binomial, com parâmetros:
Pergunta-se
A. Qual é a probabilidade de exatamente 7 sementes germinarem?
B. Qual é a probabilidade de pelo menos 8 sementes germinarem?
C. Qual é o número esperado de sementes germinadas nesse experimento?
D. Calcule o intervalo de confiança e interprete o significado para os dados estudados.
, que
Nessas condiçõe, X pode ser modelada pela distribuição binomial, com parâmetros:
A. Qual é a probabilidade de exatamente 7 sementes germinarem?
B. Qual é a probabilidade de pelo menos 8 sementes germinarem?
C. Qual é o número esperado de sementes germinadas nesse experimento?
D. Calcule o intervalo de confiança e interprete o significado para os dados estudados.
Passo 1
O enunciado e os dados fornecidos (peguei tudo do enunciado) são:
- Há
sementes testadas, cada uma com resultado binário (1 = germinou, 0 = não germinou). - Assume-se probabilidade de germinação
para cada semente e independência entre sementes. - Define-se a variável aleatória
como o número de sementes que germinam em tentativas, com
O enunciado pede quatro coisas:
A. Calcular a probabilidade de exatamente 7 sementes germinarem: .
B. Calcular a probabilidade de pelo menos 8 sementes germinarem: .
C. Calcular o número esperado de sementes germinadas: .
D. Calcular o intervalo de confiança (IC) de para a proporção de germinação usando a fórmula
A. Calcular a probabilidade de exatamente 7 sementes germinarem:
B. Calcular a probabilidade de pelo menos 8 sementes germinarem:
C. Calcular o número esperado de sementes germinadas:
D. Calcular o intervalo de confiança (IC) de
e interpretar o resultado para os dados estudados.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas e definições necessárias (aula rápida e prática):
- A distribuição binomial dá a probabilidade de exatamente
sucessos em tentativas independentes com probabilidade de sucesso em cada tentativa. A função massa de probabilidade (pmf) é
onde
é o número de combinações de
elementos escolhendo
.
- A esperança (valor esperado) de
é
- Se observarmos
sucessos em tentativas, a estimativa da proporção é . A variância da estimativa (pelo modelo binomial) é
Na prática, se não conhecemos
e usamos
em seu lugar, usamos
- Para grandes
a distribuição de é aproximadamente normal, então um IC aproximado de para é
Observação prática: aqui não foi dada uma observação explícita de
(número observado), mas como o modelo presume
, o valor esperado é
sementes germinando; então, para calcular o IC com a fórmula pedida, usaremos
(ou seja, a proporção observada igual ao parâmetro assumido). Também vou comentar na interpretação sobre limitações do IC com
pequeno.
Passo 3
Usamos a fórmula binomial com
,
,
:
Calculemos passo a passo:
-
-
(pode calcular multiplicando sucessivamente ). -
Agora multiplicamos:
Primeiro
Multiplicando por :
Multiplicando por
Arredondando para 4 casas decimais (comum em estatística):
Passo 4
Temos
Calculemos cada termo com a fórmula binomial.
-
:
-
-
-
Multiplicando:
-
:
-
-
-
Multiplicando:
-
:
-
-
-
Portanto
Somando os três:
Arredondando para 4 casas decimais:
Passo 5
Pela propriedade da binomial:
Com
e
:
Interpretação prática: em média espera-se que 8 sementes germinem em um experimento com 10 sementes sob essas condições.
Passo 6
Explicação do procedimento (passo-a-passo):
- Se observarmos
sucessos em tentativas, a estimativa pontual da proporção é . Aqui, tomando a observação igual ao valor esperado (pois o enunciado prescreve e não deu outra observação), usamos . - A variância da estimativa é estimada por
- O IC aproximado de
é
Cálculo numérico com
e
:
Desvio padrão da estimativa:
Margem de erro (com
):
Portanto o intervalo é
Isso dá:
- limite inferior:
(aprox), - limite superior:
(aprox).
Como uma proporção não pode exceder
, faz sentido truncar o limite superior em
. Logo o IC aproximado de
baseado nesta aproximação normal é
Interpretação e observações importantes (didática e dica de prova):
- Interpretação: com este método e com os dados (proporção observada
em ), temos um intervalo de confiança de aproximadamente igual a . Isso significa que, sob o procedimento usado para construir o IC, se repetíssemos muitos experimentos semelhantes e construíssemos um IC a partir de cada amostra, cerca de desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de . - Atenção: a aproximação normal para o IC de proporção funciona melhor quando
é razoavelmente grande e e são ambos maiores que, por exemplo, . Aqui e ; o segundo é pequeno, então a aproximação normal pode ser grosseira e tende a produzir um IC que atinge além de . Por isso, para pequeno é preferível usar métodos exatos, como o IC binomial exato (Clopper–Pearson), que dão limites que respeitam o intervalo naturalmente. - Para a prova: se pedirem exatamente essa fórmula do enunciado, siga-a e mencione a limitação (como fiz aqui). Se puder usar métodos mais precisos, cite o Clopper–Pearson.
Resposta
A.
B.
C.
D. IC de (aprox., usando
):
B.
C.
D. IC de