Delineamento Experimental O experimento pode ser conduzido utilizando o Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC), adequado quando as unidades experimentais são consideradas homogêneas. Nesse caso, cada semente representa uma unidade experimental, e todas são submetidas às mesmas condições de germinação (mesmo substrato, temperatura, umidade e luminosidade). Inicialmente, selecionam-se 10 sementes de milho provenientes de um mesmo lote. Essas sementes são colocadas em condições controladas de germinação, de forma que cada semente tenha a mesma probabilidade de germinar. Assume-se também que a germinação de uma semente não interfere na germinação das demais, garantindo a independência entre as unidades experimentais. Nesse delineamento, a variável de interesse é binária, assumindo dois possíveis resultados para cada unidade experimental:
  • 1 = germinou
  • 0 = não germinou
Assim, o número total de sementes germinadas no experimento pode ser representado por uma variável aleatória X , que corresponde à soma dos sucessos (sementes germinadas) nas 10 tentativas independentes.
Nessas condiçõe, X pode ser modelada pela distribuição binomial, com parâmetros:
X \sim \operatorname{Bin}(n=10, p=0,8) .
Pergunta-se
A. Qual é a probabilidade de exatamente 7 sementes germinarem?
B. Qual é a probabilidade de pelo menos 8 sementes germinarem?
C. Qual é o número esperado de sementes germinadas nesse experimento?
D. Calcule o intervalo de confiança e interprete o significado para os dados estudados.
\hat{p} \mp 1,96 \times \sqrt{\operatorname{Var}(\hat{p})}, que \operatorname{Var} \cdot(\hat{p})=\frac{\hat{p} \times(1-\hat{p})}{n}

Passo 1

O enunciado e os dados fornecidos (peguei tudo do enunciado) são:
  • n=10 sementes testadas, cada uma com resultado binário (1 = germinou, 0 = não germinou).
  • Assume-se probabilidade de germinação p=0{,}8 para cada semente e independência entre sementes.
  • Define-se a variável aleatória X como o número de sementes que germinam em 10 tentativas, com
X \sim \operatorname{Bin}(n=10,p=0{,}8).
O enunciado pede quatro coisas:
A. Calcular a probabilidade de exatamente 7 sementes germinarem: P(X=7).
B. Calcular a probabilidade de pelo menos 8 sementes germinarem: P(X\ge 8).
C. Calcular o número esperado de sementes germinadas: \mathbb{E}[X].
D. Calcular o intervalo de confiança (IC) de 95\% para a proporção de germinação usando a fórmula
\hat{p}\mp 1{,}96\times\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{p})}, \quad\text{com}\quad \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n},
e interpretar o resultado para os dados estudados.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e definições necessárias (aula rápida e prática):
  • A distribuição binomial dá a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada tentativa. A função massa de probabilidade (pmf) é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de combinações de n elementos escolhendo k.
  • A esperança (valor esperado) de X é
\mathbb{E}[X]=n p.
  • Se observarmos X sucessos em n tentativas, a estimativa da proporção é \hat{p}=X/n. A variância da estimativa \hat{p} (pelo modelo binomial) é
\operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}.
Na prática, se não conhecemos p e usamos \hat{p} em seu lugar, usamos
\operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}.
  • Para grandes n a distribuição de \hat{p} é aproximadamente normal, então um IC aproximado de 95\% para p é
\hat{p}\mp 1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Observação prática: aqui não foi dada uma observação explícita de X (número observado), mas como o modelo presume p=0{,}8, o valor esperado é 8 sementes germinando; então, para calcular o IC com a fórmula pedida, usaremos \hat{p}=8/10=0{,}8 (ou seja, a proporção observada igual ao parâmetro assumido). Também vou comentar na interpretação sobre limitações do IC com n pequeno.

Passo 3

Usamos a fórmula binomial com n=10, k=7, p=0{,}8:
P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}8)^{7}(0{,}2)^{3}.
Calculemos passo a passo:
  • \displaystyle \binom{10}{7}=\frac{10!}{7!3!}=120.
  • (0{,}8)^{7}=0{,}8^{7}=0{,}2097152 (pode calcular multiplicando sucessivamente 0{,}8).
  • (0{,}2)^{3}=0{,}008.
Agora multiplicamos:
P(X=7)=120\times 0{,}2097152\times 0{,}008.
Primeiro 0{,}2097152\times 0{,}008=0{,}0016777216.
Multiplicando por 120:
P(X=7)=0{,}201326592.
Arredondando para 4 casas decimais (comum em estatística):
P(X=7)\approx 0{,}2013.

Passo 4

Temos
P(X\ge 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10).
Calculemos cada termo com a fórmula binomial.
  1. k=8:
P(X=8)=\binom{10}{8}(0{,}8)^{8}(0{,}2)^{2}.
  • \binom{10}{8}=45.
  • (0{,}8)^{8}=0{,}16777216.
  • (0{,}2)^{2}=0{,}04.
    Multiplicando:
P(X=8)=45\times 0{,}16777216\times 0{,}04=0{,}301989888.
  1. k=9:
P(X=9)=\binom{10}{9}(0{,}8)^{9}(0{,}2)^{1}.
  • \binom{10}{9}=10.
  • (0{,}8)^{9}=0{,}134217728.
  • (0{,}2)^{1}=0{,}2.
    Multiplicando:
P(X=9)=10\times 0{,}134217728\times 0{,}2=0{,}268435456.
  1. k=10:
P(X=10)=\binom{10}{10}(0{,}8)^{10}(0{,}2)^{0}.
  • \binom{10}{10}=1.
  • (0{,}8)^{10}=0{,}1073741824.
  • (0{,}2)^{0}=1.
    Portanto
P(X=10)=0{,}1073741824.
Somando os três:
P(X\ge 8)=0{,}301989888+0{,}268435456+0{,}1073741824=0{,}6777995264.
Arredondando para 4 casas decimais:
P(X\ge 8)\approx 0{,}6778.

Passo 5

Pela propriedade da binomial:
\mathbb{E}[X]=n p.
Com n=10 e p=0{,}8:
\mathbb{E}[X]=10\times 0{,}8=8.
Interpretação prática: em média espera-se que 8 sementes germinem em um experimento com 10 sementes sob essas condições.

Passo 6

Explicação do procedimento (passo-a-passo):
  • Se observarmos X sucessos em n tentativas, a estimativa pontual da proporção é \hat{p}=X/n. Aqui, tomando a observação igual ao valor esperado (pois o enunciado prescreve p=0{,}8 e não deu outra observação), usamos \hat{p}=8/10=0{,}8.
  • A variância da estimativa é estimada por
\operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}.
  • O IC aproximado de 95\% é
\hat{p}\mp 1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Cálculo numérico com \hat{p}=0{,}8 e n=10:
\operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{0{,}8\times(1-0{,}8)}{10}=\frac{0{,}8\times 0{,}2}{10}=\frac{0{,}16}{10}=0{,}016.
Desvio padrão da estimativa:
\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{p})}=\sqrt{0{,}016}=0{,}1264911064\\ (\text{aprox}).
Margem de erro (com z_{0{,}975}=1{,}96):
1{,}96\times 0{,}1264911064\approx 0{,}2478.
Portanto o intervalo é
0{,}8\mp 0{,}2478.
Isso dá:
  • limite inferior: 0{,}8-0{,}2478=0{,}5522 (aprox),
  • limite superior: 0{,}8+0{,}2478=1{,}0478 (aprox).
Como uma proporção não pode exceder 1, faz sentido truncar o limite superior em 1{,}0000. Logo o IC aproximado de 95\% baseado nesta aproximação normal é
(0{,}5522,\;1{,}0000)\quad\text{(aprox).}
Interpretação e observações importantes (didática e dica de prova):
  • Interpretação: com este método e com os dados (proporção observada \hat{p}=0{,}8 em n=10), temos um intervalo de confiança de 95\% aproximadamente igual a (0{,}5522,\;1{,}0000). Isso significa que, sob o procedimento usado para construir o IC, se repetíssemos muitos experimentos semelhantes e construíssemos um IC a partir de cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de p.
  • Atenção: a aproximação normal para o IC de proporção funciona melhor quando n é razoavelmente grande e np e n(1-p) são ambos maiores que, por exemplo, 5. Aqui np=8 e n(1-p)=2; o segundo é pequeno, então a aproximação normal pode ser grosseira e tende a produzir um IC que atinge além de 1. Por isso, para n pequeno é preferível usar métodos exatos, como o IC binomial exato (Clopper–Pearson), que dão limites que respeitam o intervalo [0,1] naturalmente.
  • Para a prova: se pedirem exatamente essa fórmula do enunciado, siga-a e mencione a limitação (como fiz aqui). Se puder usar métodos mais precisos, cite o Clopper–Pearson.

Resposta

A. P(X=7)=0{,}2013
B. P(X\ge 8)=0{,}6778
C. \mathbb{E}[X]=8
D. IC de 95\% (aprox., usando \hat{p}=0{,}8): (0{,}5522,\;1{,}0000)

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