Se Delta x e Delta y são incrementos de x e y, ache Delta w, d w e d w-\Delta w :
w=x y-y^{2}+3 x

Passo 1

O enunciado fornece a função \displaystyle w = x y - y^{2} + 3x e diz que \displaystyle \Delta x e \displaystyle \Delta y são incrementos (variações) de x e y.
Pede-se encontrar, explicitamente:
  • \displaystyle \Delta w (o incremento de w quando x passa para x+\Delta x e y passa para y+\Delta y);
  • \displaystyle d w (o diferencial de w);
  • \displaystyle d w - \Delta w (a diferença entre o diferencial e o incremento).
As informações relevantes que temos: a expressão de w em termos de x e y e os símbolos \displaystyle \Delta x,\\ \Delta y (incrementos). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Definição e cálculo de \displaystyle \Delta w.
Definição: \displaystyle \Delta w = w(x+\Delta x,\;y+\Delta y) - w(x,y). Vamos calcular cada termo:
Calcule w(x+\Delta x,\;y+\Delta y). Substituindo na fórmula:
w(x+\Delta x,\;y+\Delta y)=(x+\Delta x)(y+\Delta y)- (y+\Delta y)^{2}+3(x+\Delta x).
Agora expandimos termo a termo:
(x+\Delta x)(y+\Delta y)=xy + x\Delta y + y\Delta x + \Delta x\,\Delta y,
(y+\Delta y)^{2}=y^{2}+2y\Delta y+(\Delta y)^{2},
3(x+\Delta x)=3x+3\Delta x.
Somando e subtraindo conforme w:
w(x+\Delta x,\;y+\Delta y)=xy + x\Delta y + y\Delta x + \Delta x\,\Delta y - \bigl(y^{2}+2y\Delta y+(\Delta y)^{2}\bigr) + 3x+3\Delta x.
Agora subtraímos w(x,y)=xy - y^{2} + 3x. Ao fazer w(x+\Delta x,y+\Delta y)-w(x,y) os termos xy,\\\ -y^{2},\\\ 3x se cancelam, sobrando:
\Delta w = x\Delta y + y\Delta x + \Delta x\,\Delta y - 2y\Delta y - (\Delta y)^{2} + 3\Delta x.
Reagrupando por termos lineares e termos de ordem superior:
\Delta w = (y+3)\,\Delta x + (x-2y)\,\Delta y + \Delta x\,\Delta y - (\Delta y)^{2}.

Passo 3

Cálculo dos derivadas parciais e definição do diferencial \displaystyle d w.
Definição: para uma função w(x,y), as derivadas parciais são as derivadas em relação a uma variável mantendo a outra fixa:
\frac{\partial w}{\partial x} \quad\text{e}\quad \frac{\partial w}{\partial y}.
Calculamos:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy - y^{2} + 3x\bigr)=y + 3,
pois xy derivado em relação a x é y, -y^{2} é constante em x e 3x 3.
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy - y^{2} + 3x\bigr)=x - 2y,
pois xy derivado em relação a y é x, -y^{2} -2y e 3x é constante em y.
A definição do diferencial total é
d w = \frac{\partial w}{\partial x}\,d x + \frac{\partial w}{\partial y}\,d y.
Substituindo as parciais obtidas:
d w = (y+3)\,d x + (x-2y)\,d y.
Aqui d x e d y são diferenciais (variáveis que representam variações pequenas de x e y). Na prática de muitos exercícios elementares, toma-se d x=\Delta x e d y=\Delta y para comparar diferencial com incremento (o diferencial é a aproximação linear do incremento).

Passo 4

Expressão explícita de d w assumindo d x=\Delta x e d y=\Delta y (prática comum em exercícios).
Substituindo d x=\Delta x e d y=\Delta y na expressão do diferencial:
d w = (y+3)\,\Delta x + (x-2y)\,\Delta y.
Esse d w é a aproximação linear de \Delta w: \Delta w \approx d w quando \Delta x,\Delta y são pequenos; a diferença entre os dois é composta por termos de ordem superior (produtos e quadrados das variações).

Passo 5

Cálculo de \displaystyle d w - \Delta w (usando a convenção d x=\Delta x,\\ d y=\Delta y).
Temos de um lado
d w = (y+3)\,\Delta x + (x-2y)\,\Delta y,
e de outro (obtido no Passo 2)
\Delta w = (y+3)\,\Delta x + (x-2y)\,\Delta y + \Delta x\,\Delta y - (\Delta y)^{2}.
Subtraindo:
d w - \Delta w = -\bigl(\Delta x\,\Delta y - (\Delta y)^{2}\bigr).
Simplificando o sinal:
d w - \Delta w = (\Delta y)^{2} - \Delta x\,\Delta y.
Interpretação curta: essa diferença é de segunda ordem em \Delta x,\Delta y (produtos/quadrados das pequenas variações), por isso para variações muito pequenas ela é desprezível e \Delta w \approx d w.

Resposta

\displaystyle \Delta w = (y+3)\,\Delta x + (x-2y)\,\Delta y + \Delta x\,\Delta y - (\Delta y)^{2}
\displaystyle d w = (y+3)\,d x + (x-2y)\,d y (e, se d x=\Delta x,\\ d y=\Delta y, \displaystyle d w=(y+3)\,\Delta x+(x-2y)\,\Delta y)
\displaystyle d w - \Delta w = (\Delta y)^{2} - \Delta x\,\Delta y

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