Se
e
são incrementos de
e
, ache
e
:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e diz que
e
são incrementos (variações) de
e
.
Pede-se encontrar, explicitamente:
Pede-se encontrar, explicitamente:
-
(o incremento de quando passa para e passa para ); -
(o diferencial de ); -
(a diferença entre o diferencial e o incremento).
As informações relevantes que temos: a expressão de
em termos de
e
e os símbolos
(incrementos). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Definição e cálculo de
.
Definição:
. Vamos calcular cada termo:
Calcule
. Substituindo na fórmula:
Agora expandimos termo a termo:
Somando e subtraindo conforme
:
Agora subtraímos
. Ao fazer
os termos
se cancelam, sobrando:
Reagrupando por termos lineares e termos de ordem superior:
Passo 3
Cálculo dos derivadas parciais e definição do diferencial
.
Definição: para uma função
, as derivadas parciais são as derivadas em relação a uma variável mantendo a outra fixa:
Calculamos:
pois
derivado em relação a
é
,
é constante em
e
dá
.
pois
derivado em relação a
é
,
dá
e
é constante em
.
A definição do diferencial total é
Substituindo as parciais obtidas:
Aqui
e
são diferenciais (variáveis que representam variações pequenas de
e
). Na prática de muitos exercícios elementares, toma-se
e
para comparar diferencial com incremento (o diferencial é a aproximação linear do incremento).
Passo 4
Expressão explícita de
assumindo
e
(prática comum em exercícios).
Substituindo
e
na expressão do diferencial:
Esse
é a aproximação linear de
:
quando
são pequenos; a diferença entre os dois é composta por termos de ordem superior (produtos e quadrados das variações).
Passo 5
Cálculo de
(usando a convenção
).
Temos de um lado
e de outro (obtido no Passo 2)
Subtraindo:
Simplificando o sinal:
Interpretação curta: essa diferença é de segunda ordem em
(produtos/quadrados das pequenas variações), por isso para variações muito pequenas ela é desprezível e
.