Determine expressões de
e
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar expressões de
e
. Vou entender isto como a versão unidimensional do teorema do valor médio aplicada separadamente às variáveis
e
: isto é, dado um incremento
em
e um incremento
em
, existem
tais que as variações parciais podem ser escritas na forma de resto de Lagrange unidimensional:
O objetivo é obter expressões explícitas de
e
(em função de
e de
, respectivamente), indicando também o cuidado com os casos
ou
.
Passo 2
Lembrete (Teorema do Valor Médio / forma de Lagrange para funções de uma variável, versão usada aqui). Se
é diferenciável em um intervalo contendo
e
, então existe
tal que
Aplicando isto a
(cuja derivada é
) obtemos exatamente as igualdades escritas no Passo 1, com
e
desempenhando o papel de
.
Passo 3
Aplicando o resultado ao incremento em
obtemos, para
,
Dividindo por
(válido pois
):
Passo 4
Simplificar o lado direito explicitamente:
portanto
Logo
Passo 5
Tirando raiz quadrada (e lembrando que haverá duas raízes), obtemos a equação
Isolando
(para
):
Para garantir
escolhe-se o sinal de modo compatível com
: se
deve tomar o sinal
, se
deve tomar o sinal
. Isso assegura que
fique entre
e
, como pede o teorema do valor médio. No caso
a igualdade é trivial
e qualquer
satisfaz a forma; convencionalmente pode-se tomar
arbitrário em
.
Passo 6
Repetindo o mesmo raciocínio para a variável
com incremento
(assumindo
):
o que conduz a
e portanto
Isolando
(para
):
onde, analogamente, escolhe-se o sinal
se
e o sinal
se
. Para
qualquer
funciona.
Passo 7
Resumo dos cuidados:
- Fórmulas acima valem para
e . - Em cada caso, o sinal é escolhido para que
: sinal se o incremento for positivo, sinal se o incremento for negativo. - Para incrementos nulos (
ou ) a igualdade é trivial e qualquer serve.
Resposta
com sinal
se
e sinal
se
. Para
qualquer
serve.
com sinal
se
e sinal
se
. Para
qualquer
serve.