Determine expressões de varepsilon_{1} e varepsilon_{2} :
f(x, y)=x^{3}+y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}+y^{3} e pede para determinar expressões de \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2}. Vou entender isto como a versão unidimensional do teorema do valor médio aplicada separadamente às variáveis x e y: isto é, dado um incremento h em x e um incremento k em y, existem \varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\in(0,1) tais que as variações parciais podem ser escritas na forma de resto de Lagrange unidimensional:
(x+h)^{3}-x^{3}=3\bigl(x+\varepsilon_{1}h\bigr)^{2}h, \qquad (y+k)^{3}-y^{3}=3\bigl(y+\varepsilon_{2}k\bigr)^{2}k.
O objetivo é obter expressões explícitas de \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} (em função de x,h e de y,k, respectivamente), indicando também o cuidado com os casos h=0 ou k=0.

Passo 2

Lembrete (Teorema do Valor Médio / forma de Lagrange para funções de uma variável, versão usada aqui). Se g é diferenciável em um intervalo contendo t e t+h, então existe \theta\in(0,1) tal que
g(t+h)-g(t)=g'(t+\theta h)\,h.
Aplicando isto a g(t)=t^{3} (cuja derivada é g'(t)=3t^{2}) obtemos exatamente as igualdades escritas no Passo 1, com \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} desempenhando o papel de \theta.

Passo 3

Aplicando o resultado ao incremento em x obtemos, para h\neq0,
(x+h)^{3}-x^{3}=3\bigl(x+\varepsilon_{1}h\bigr)^{2}h.
Dividindo por 3h (válido pois h\neq0):
\bigl(x+\varepsilon_{1}h\bigr)^{2}= \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{3h}.

Passo 4

Simplificar o lado direito explicitamente:
(x+h)^{3}-x^{3}=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},
portanto
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{3h}=x^{2}+xh+\tfrac{1}{3}h^{2}.
Logo
\bigl(x+\varepsilon_{1}h\bigr)^{2}=x^{2}+xh+\tfrac{1}{3}h^{2}.

Passo 5

Tirando raiz quadrada (e lembrando que haverá duas raízes), obtemos a equação
x+\varepsilon_{1}h=\pm\sqrt{x^{2}+xh+\tfrac{1}{3}h^{2}}.
Isolando \varepsilon_{1} (para h\neq0):
\varepsilon_{1}=\frac{\pm\sqrt{x^{2}+xh+\tfrac{1}{3}h^{2}}-x}{h}.
Para garantir \varepsilon_{1}\in(0,1) escolhe-se o sinal de modo compatível com h: se h>0 deve tomar o sinal +, se h<0 deve tomar o sinal -. Isso assegura que x+\varepsilon_{1}h fique entre x e x+h, como pede o teorema do valor médio. No caso h=0 a igualdade é trivial (x+0)^{3}-x^{3}=0 e qualquer \varepsilon_{1}\in[0,1] satisfaz a forma; convencionalmente pode-se tomar \varepsilon_{1} arbitrário em [0,1].

Passo 6

Repetindo o mesmo raciocínio para a variável y com incremento k (assumindo k\neq0):
(y+k)^{3}-y^{3}=3\bigl(y+\varepsilon_{2}k\bigr)^{2}k,
o que conduz a
\bigl(y+\varepsilon_{2}k\bigr)^{2}=y^{2}+yk+\tfrac{1}{3}k^{2},
e portanto
y+\varepsilon_{2}k=\pm\sqrt{y^{2}+yk+\tfrac{1}{3}k^{2}}.
Isolando \varepsilon_{2} (para k\neq0):
\varepsilon_{2}=\frac{\pm\sqrt{y^{2}+yk+\tfrac{1}{3}k^{2}}-y}{k},
onde, analogamente, escolhe-se o sinal + se k>0 e o sinal - se k<0. Para k=0 qualquer \varepsilon_{2}\in[0,1] funciona.

Passo 7

Resumo dos cuidados:
  • Fórmulas acima valem para h\neq0 e k\neq0.
  • Em cada caso, o sinal é escolhido para que \varepsilon_{i}\in(0,1): sinal + se o incremento for positivo, sinal - se o incremento for negativo.
  • Para incrementos nulos ( h=0 ou k=0) a igualdade é trivial e qualquer \varepsilon_{i}\in[0,1] serve.

Resposta

\varepsilon_{1}=\frac{\pm\sqrt{x^{2}+xh+\tfrac{1}{3}h^{2}}-x}{h}\quad(h\neq0),
com sinal + se h>0 e sinal - se h<0. Para h=0 qualquer \varepsilon_{1}\in[0,1] serve.
\varepsilon_{2}=\frac{\pm\sqrt{y^{2}+yk+\tfrac{1}{3}k^{2}}-y}{k}\quad(k\neq0),
com sinal + se k>0 e sinal - se k<0. Para k=0 qualquer \varepsilon_{2}\in[0,1] serve.

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