Explique se as afirmaçãões são verdadeiras ou falsas:
Se uma f é impar ( -f(x)=f(-x) ), então a f^{\prime} é par ( f(-x)=f(x) )

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justificar:
  • Afirmação: “Se f é ímpar (ou seja, -f(x)=f(-x) para todo x), então f' é par (ou seja, f'(-x)=f'(x) para todo x).”
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função f satisfaz -f(x)=f(-x) (definição de função ímpar).
  • A conclusão desejada é que a derivada f' satisfaz f'(-x)=f'(x) (definição de função par).
O enunciado não diz explicitamente onde f é diferenciável, por isso é importante considerar a hipótese necessária sobre diferenciabilidade ao responder.

Passo 2

Relembrando as definições (para ficar tudo bem claro):
  • Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x) = -f(x).
  • Uma função g é par se, para todo x no domínio, vale
g(-x) = g(x).
  • A derivada de f em um ponto a é dada pela definição por limites:
f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista.
Vou usar a definição de derivada e a propriedade de ímpar para comparar f'(-x) com f'(x).

Passo 3

Calcular f'(-x) pela definição de derivada, supondo que f é diferenciável em -x:
f'(-x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}.
Agora aplicar a propriedade de que f é ímpar: f(-u)=-f(u) para qualquer argumento u. Em particular,
f(-x+h)= -f(x-h),\qquad f(-x) = -f(x).
Substituindo essas expressões no numerador:
f(-x+h)-f(-x) = -f(x-h) - \bigl(-f(x)\bigr) = -f(x-h) + f(x) = f(x)-f(x-h).
Portanto
f'(-x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}.

Passo 4

Fazer uma troca de variável no limite para conectar com f'(x). Defina k = -h. Quando h\to 0 temos k\to 0, e h = -k. Substituindo:
\frac{f(x)-f(x-h)}{h} = \frac{f(x)-f(x+ k)}{-k} = \frac{f(x+k)-f(x)}{k}.
Logo, passando ao limite k\to 0,
f'(-x) = \lim_{k\to 0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}.
Pela definição de derivada em x, o limite à direita é exatamente f'(x). Portanto
f'(-x) = f'(x).

Passo 5

Interpretação do resultado e condição necessária:
  • A igualdade \,f'(-x)=f'(x)\, foi deduzida a partir da definição da derivada e da propriedade de ímpar de f. Assim, sempre que f for diferenciável nos pontos x e -x (na prática, se f for diferenciável em todos os pontos do domínio considerado), vale que a derivada f' é par.
  • Se f não for diferenciável em algum ponto, não faz sentido falar de f' nesse ponto, então a conclusão precisa da hipótese de diferenciabilidade.

Passo 6

Exemplos para fixar a ideia:
  • Exemplo clássico que confirma: f(x)=x^{3} é ímpar. A derivada é f'(x)=3x^{2}, que é claramente par, pois 3(-x)^{2}=3x^{2}.
  • Contraponto: se f é ímpar mas não diferenciável em algum ponto (por exemplo f(x)=|x| não é ímpar, mas se houvesse uma função ímpar com canto em 0 a derivada em 0 poderia não existir), então a afirmação sobre f' ser par só vale onde f' existe.

Passo 7

Conclusão final, estilo amigo e incentivo:
  • Em palavras simples: sim — a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que a derivada exista nos pontos em questão. Isso acontece porque a propriedade de ímparidade transforma diferenças de valores em sinais que, após a troca de variável no limite, produzem a igualdade f'(-x)=f'(x). Força aí — a técnica é sempre usar a definição f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} e aplicar a simetria da função.

Resposta

Verdadeira, desde que f seja diferenciável nos pontos considerados (então f'(-x)=f'(x) para todo x onde f' existe).

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