Explique se as afirmaçãões são verdadeiras ou falsas:
Se uma
é impar (
), então a
é par (
)
Se uma
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justificar:
- Afirmação: “Se
é ímpar (ou seja, para todo ), então é par (ou seja, para todo ).”
Informações dadas pelo enunciado:
- A função
satisfaz (definição de função ímpar). - A conclusão desejada é que a derivada
satisfaz (definição de função par).
O enunciado não diz explicitamente onde
é diferenciável, por isso é importante considerar a hipótese necessária sobre diferenciabilidade ao responder.
Passo 2
Relembrando as definições (para ficar tudo bem claro):
- Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, vale
- Uma função
é par se, para todo no domínio, vale
- A derivada de
em um ponto é dada pela definição por limites:
desde que esse limite exista.
Vou usar a definição de derivada e a propriedade de ímpar para comparar
com
.
Passo 3
Calcular
pela definição de derivada, supondo que
é diferenciável em
:
Agora aplicar a propriedade de que
é ímpar:
para qualquer argumento
. Em particular,
Substituindo essas expressões no numerador:
Portanto
Passo 4
Fazer uma troca de variável no limite para conectar com
. Defina
. Quando
temos
, e
. Substituindo:
Logo, passando ao limite
,
Pela definição de derivada em
, o limite à direita é exatamente
. Portanto
Passo 5
Interpretação do resultado e condição necessária:
- A igualdade
foi deduzida a partir da definição da derivada e da propriedade de ímpar de . Assim, sempre que for diferenciável nos pontos e (na prática, se for diferenciável em todos os pontos do domínio considerado), vale que a derivada é par. - Se
não for diferenciável em algum ponto, não faz sentido falar de nesse ponto, então a conclusão precisa da hipótese de diferenciabilidade.
Passo 6
Exemplos para fixar a ideia:
- Exemplo clássico que confirma:
é ímpar. A derivada é , que é claramente par, pois . - Contraponto: se
é ímpar mas não diferenciável em algum ponto (por exemplo não é ímpar, mas se houvesse uma função ímpar com canto em a derivada em poderia não existir), então a afirmação sobre ser par só vale onde existe.
Passo 7
Conclusão final, estilo amigo e incentivo:
- Em palavras simples: sim — a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que a derivada exista nos pontos em questão. Isso acontece porque a propriedade de ímparidade transforma diferenças de valores em sinais que, após a troca de variável no limite, produzem a igualdade
. Força aí — a técnica é sempre usar a definição e aplicar a simetria da função.
Resposta
Verdadeira, desde que
seja diferenciável nos pontos considerados (então
para todo
onde
existe).