Use a teorema do confronto para resolver as questões seguintes:
\lim _{x \rightarrow c}|f(x)|=0 \Longrightarrow \lim _{x \rightarrow c} f(x)=0

Passo 1

O enunciado dá a informação
\lim_{x\to c} |f(x)| = 0
e pede para provar que
\lim_{x\to c} f(x) = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma função f definida em uma vizinhança de c (talvez não em c em si, mas o limite se refere a x\to c).
  • Sabemos que o valor absoluto de f(x) tende a 0 quando x tende a c.
    O que devemos mostrar: a própria função f(x) tende a 0 quando x\to c.

Passo 2

Uma desigualdade básica sobre valor absoluto que vamos usar é
-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|.
Explicando por que isso é verdade: por definição |f(x)|\ge 0. Além disso, |f(x)| é a distância de f(x) até 0, então |f(x)|\ge f(x) quando f(x)\le |f(x)| (caso f(x) seja positivo é óbvio, e se for negativo |f(x)|=-f(x) então |f(x)|\ge f(x) também). De forma simétrica |f(x)|\ge -f(x). Rearranjando |f(x)|\ge -f(x) -|f(x)|\le f(x). Assim a desigualdade acima vale para todo x.

Passo 3

Vou lembrar o enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) de forma simples e útil:
sejam funções g,h,k tais que, numa vizinhança de c (exceto possivelmente em c),
g(x)\le h(x)\le k(x)
para todo x perto de c, e se
\lim_{x\to c} g(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to c} k(x)=L,
então
\lim_{x\to c} h(x)=L.
Intuição rápida: h(x) fica “espremida” entre duas funções que encontram o mesmo limite L, então h tem de ir para L também.

Passo 4

Apliquei o Teorema do Confronto usando as funções
g(x) = -|f(x)|,\qquad h(x)=f(x),\qquad k(x)=|f(x)|.
Pela desigualdade do Passo 2 temos g(x)\le h(x)\le k(x) perto de c. Pela hipótese do enunciado sabemos que
\lim_{x\to c} |f(x)| = 0,
logo, usando a propriedade de limites sob multiplicação por escalar,
\lim_{x\to c} (-|f(x)|) = -\lim_{x\to c} |f(x)| = -0 = 0.
Portanto \lim_{x\to c} g(x)=0 e \lim_{x\to c} k(x)=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to c} f(x)=0.

Passo 5

Para ficar ainda mais claro e “à prova de prova” (epsilon–delta), faço a demonstração direta usando a definição de limite:
Seja \varepsilon>0. Como \lim_{x\to c} |f(x)| = 0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-c|<\delta, vale
\bigl||f(x)|-0\bigr| = |f(x)| < \varepsilon.
Mas \bigl|f(x)-0\bigr| = |f(x)|. Assim para esse mesmo \delta temos, quando 0<|x-c|<\delta,
\bigl|f(x)-0\bigr| < \varepsilon.
Isto mostra diretamente, pela definição de limite, que \lim_{x\to c} f(x)=0.

Passo 6

Resumo final e palavra amiga: a ideia-chave é a desigualdade -|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|. Se o módulo tende a 0, os dois limites das funções que “prendem” f também tendem a 0, então f tem de tender a 0. Boa notícia: este é um resultado simples e muito útil — sempre que o módulo de uma função vai a zero, a própria função também vai a zero. Continue assim, você está no caminho certo!

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)=0

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