Se a demanda de um certo produto é dada pela expressão
100 p=1600-x^{2}
e a oferta pela expressão
400 p=x^{2}+2400
onde p é o preço em relação às quantidades. Ache o excedente total da economia se prevalecer o equilíbrio de mercado.

Passo 1

O enunciado apresenta as curvas de demanda e oferta e pede o excedente total no ponto de equilíbrio de mercado. O conteúdo envolvido é microeconomia: determinação do equilíbrio e cálculo de excedente através de integrais. Vamos precisar igualar as funções de preço para achar a quantidade e preço de equilíbrio e depois integrar a diferença entre demanda e oferta para obter o excedente.

Passo 2

Para encontrar o equilíbrio, igualamos
p_d(x)=\frac{1600 - x^2}{100}
e
p_s(x)=\frac{x^2 + 2400}{400}.
Multiplicando por 400:
4(1600 - x^2) = x^2 + 2400
6400 - 4x^2 = x^2 + 2400 \quad\Longrightarrow\quad 5x^2 = 4000 \quad\Longrightarrow\quad x_e = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}.
Substituindo em p_d:
p_e = \frac{1600 - 800}{100} = 8.

Passo 3

O excedente total é a soma do excedente do consumidor e do produtor. Isso equivale à integral da diferença entre preço de demanda e oferta de 0 até x_e:
\text{Excedente Total} = \int_{0}^{x_e} \bigl(p_d(x) - p_s(x)\bigr)\,dx.
Calculamos primeiro o integrando:
p_d(x) - p_s(x) = \frac{1600 - x^2}{100} - \frac{x^2 + 2400}{400} = \frac{800 - x^2}{80}.

Passo 4

Agora integramos de 0 a x_e:
\int_{0}^{x_e} \frac{800 - x^2}{80}\,dx = \frac{1}{80}\Bigl[800x - \frac{x^3}{3}\Bigr]_0^{x_e} = \frac{1}{80}\Bigl(800 x_e - \frac{x_e^3}{3}\Bigr).
Como x_e = 20\sqrt{2} temos 800 x_e = 16000\sqrt{2} e x_e^3 = 16000\sqrt{2}. Logo
800 x_e - \frac{x_e^3}{3} = 16000\sqrt{2}\,\Bigl(1 - \frac{1}{3}\Bigr) = \frac{32000\sqrt{2}}{3},
portanto
\text{Excedente Total} = \frac{1}{80}\cdot \frac{32000\sqrt{2}}{3} = \frac{400\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{400\sqrt{2}}{3}

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