\qquad (2) (Valor: 2,0) Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas y=(x-2)^{2} e y=-x^{2}+10.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região comum às curvas
y = (x-2)^{2}
e
y = -x^{2} + 10.
O conteúdo é integração de uma “área entre curvas”. Vamos: (1) encontrar os pontos de interseção, (2) determinar qual curva está acima da outra no intervalo, (3) montar a integral da diferença e (4) calcular.

Passo 2

Encontramos as abscissas dos pontos onde
(x-2)^{2} = -x^{2} + 10.
Expandindo e rearranjando:
x^{2} - 4x + 4 = -x^{2} + 10 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2} - 4x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 2x - 3 = 0
Isso fatora como (x-3)(x+1)=0, logo os pontos de interseção são
x = -1 \quad\text{e}\quad x = 3.

Passo 3

Para -1 \le x \le 3, a parábola descendente y = -x^{2} + 10 está acima de y = (x-2)^{2}. Então a área A é
A = \int_{x=-1}^{x=3}\Bigl[\bigl(-x^{2}+10\bigr)-\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)\Bigr]\,dx =\int_{-1}^{3}\bigl(-2x^{2}+4x+6\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a primitiva:
\int\bigl(-2x^{2}+4x+6\bigr)\,dx = -\frac{2x^{3}}{3} + 2x^{2} + 6x.
Avaliaremos de -1 a 3:
\Bigl[-\tfrac{2x^{3}}{3} + 2x^{2} + 6x\Bigr]_{-1}^{3} = \bigl(-18 + 18 + 18\bigr) - \Bigl(\tfrac{2}{3} + 2 - 6\Bigr) = 18 - \bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr) = 18 + \tfrac{10}{3} = \tfrac{64}{3}.

Passo 5

O esboço qualitativo mostraria a parábola com concavidade para cima e vértice em (2,0) e a outra voltada para baixo com vértice em (0,10), cruzando-se em (-1,9) e (3,1). A área entre elas é \tfrac{64}{3}.

Resposta

A área da região solicitada é \displaystyle \frac{64}{3}.

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