^{a} Questão. (4,0 pts) Calcule as integrais.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}^{3}(2 x) \cos ^{2}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x)\,dx.
Este é um caso de integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade \sin^{2}(2x)=1-\cos^{2}(2x) para expor um fator \sin(2x)\,dx e em seguida fazer a substituição u=\cos(2x).

Passo 2

Escrevemos
\sin^{3}(2x)\,\cos^{2}(2x) =\bigl(\sin^{2}(2x)\bigr)\sin(2x)\,\cos^{2}(2x) =(1-\cos^{2}(2x))\sin(2x)\,\cos^{2}(2x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(2x), \quad du=-2\,\sin(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(2x)\,dx=-\tfrac12\,du.
Assim,
(1-\cos^{2}(2x))\sin(2x)\,\cos^{2}(2x)\,dx =(1-u^{2})\,u^{2}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) =-\tfrac12\,(u^{2}-u^{4})\,du.

Passo 4

O integral torna-se
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^{3}(2x)\cos^{2}(2x)\,dx =-\tfrac12\int_{u(0)}^{u(\pi/4)}\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du.
Aqui u(0)=\cos0=1 e u(\pi/4)=\cos(\tfrac{\pi}{2})=0.

Passo 5

Integramos o polinômio:
-\tfrac12\int_{1}^{0}(u^{2}-u^{4})\,du =-\tfrac12\Bigl[\tfrac{u^{3}}{3}-\tfrac{u^{5}}{5}\Bigr]_{1}^{0} =-\tfrac12\Bigl[\bigl(0-\tfrac{0}{5}\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\bigr)\Bigr].
Isso dá
-\tfrac12\Bigl[-\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\bigr)\Bigr] =\tfrac12\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Bigr) =\tfrac12\cdot\tfrac{5-3}{15} =\tfrac{2}{30} =\tfrac{1}{15}.

Resposta

\frac{1}{15}

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