Uma empresa espera que sua receita nos próximos 10 anos seja P(t)=10^{8} t. Se existe uma taxa de inflação de 10 \% ao ano, qual o valor atual da receita?

Passo 1

O enunciado diz que a empresa espera receitas nos próximos 10 anos dadas por
P(t)=10^{8}\,t
em que t varia de 1 a 10. Como a inflação (i.e., a taxa de desconto) é de 10\% ao ano, queremos calcular o valor presente dessas receitas, aplicando o desconto anual de i=0,10.

Passo 2

O valor presente PV de uma série de receitas anuais P(t) é dado por
PV \;=\;\sum_{t=1}^{10}\frac{P(t)}{(1+i)^{t}}\,.
Aqui i=0,10, logo definimos
v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1,1}\approx0,90909.

Passo 3

Substituindo P(t)=10^{8}\,t, fica
PV = 10^{8}\sum_{t=1}^{10} t\,v^{t}.
Reconhecemos a soma de termo aritmético-geométrico e usamos a fórmula genérica
\sum_{t=1}^{n} t\,v^{t} = \frac{v\bigl[1-(n+1)v^{n}+n\,v^{n+1}\bigr]}{(1-v)^{2}}.

Passo 4

Aplicando com n=10:
v=0,90909,\quad v^{10}\approx0,385543,\quad v^{11}\approx0,350494.
Logo
\sum_{t=1}^{10}t\,v^{t} = \frac{0,90909\bigl[1-11\cdot0,385543+10\cdot0,350494\bigr]}{(1-0,90909)^{2}} \approx29,150.

Passo 5

Portanto
PV = 10^{8}\times29,150 = 2{,}915\times10^{9}.

Resposta

O valor atual (presente) da receita esperada é aproximadamente
\boxed{2{,}9\times10^{9}\text{ (unidades monetárias)}.}á

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