Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se, que a experiência é bem sucedida em 40 \% dos casos.
Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24 ? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado dá que a experiência é bem sucedida em 40\% dos casos e pede: quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Probabilidade de sucesso em cada cobaia: p=0,4 (peguei este valor do enunciado).
  • Desejamos que o valor esperado do número de sucessos seja 24.
    A pergunta é: encontrar n (número de cobaias) tal que o número esperado de sucessos seja 24.

Passo 2

Modelagem do problema (por que usar esse modelo).
Quando se repete uma tentativa independente várias vezes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso p, o número total de sucessos X em n tentativas é descrito pela distribuição binomial. Isso significa que podemos pensar em X como a soma de n variáveis indicadoras:
X = X_1 + X_2 + \dots + X_n,
onde cada \,X_i vale 1 se a i-ésima cobaia resultar em sucesso e 0 caso contrário. Cada \,X_i tem expectativa E(X_i)=p. Aqui estou assumindo que as cobaias/ensaios são independentes e com mesma probabilidade de sucesso p, que é a interpretação natural do enunciado.

Passo 3

Fórmula do valor esperado e por que ela vale.
Pela linearidade da esperança (um resultado que diz que a esperança da soma é a soma das esperanças, mesmo sem precisar de independência), temos:
E(X)=E\bigl(X_1+\dots+X_n\bigr)=E(X_1)+\dots+E(X_n)=np.
Nessa fórmula:
  • E(X) é o número esperado de sucessos,
  • n é o número de cobaias (o que queremos achar),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada cobaia.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao problema e resolver para n.
Queremos E(X)=24 e sabemos p=0,4. Usando E(X)=np obtemos a equação
n\cdot 0,4 = 24.
Agora isolamos n:
n = \dfrac{24}{0,4}.
Para fazer essa divisão sem calculadora, note que 0,4=\dfrac{4}{10}, então
n = 24 \div \dfrac{4}{10} = 24 \cdot \dfrac{10}{4} = \dfrac{240}{4} = 60.

Passo 5

Interpretação final e checagem.
Obtivemos n=60, que é um inteiro, o que faz sentido porque não se pode usar uma fração de cobaia. Assim, com 60 cobaias e probabilidade de sucesso 0,4 por cobaia, o número esperado de sucessos será exatamente 24.
Força aí — com essa conta pronta, você já pode justificar a resposta na prova de forma direta e clara.

Resposta

60 cobaias

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