Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se, que a experiência é bem sucedida em
dos casos.
Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24 ? Justifique a resposta.
Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24 ? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado dá que a experiência é bem sucedida em
dos casos e pede: quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Probabilidade de sucesso em cada cobaia:
(peguei este valor do enunciado). - Desejamos que o valor esperado do número de sucessos seja
.
A pergunta é: encontrar(número de cobaias) tal que o número esperado de sucessos seja .
Passo 2
Modelagem do problema (por que usar esse modelo).
Quando se repete uma tentativa independente várias vezes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso , o número total de sucessos
em
tentativas é descrito pela distribuição binomial. Isso significa que podemos pensar em
como a soma de
variáveis indicadoras:
Quando se repete uma tentativa independente várias vezes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso
onde cada
vale
se a
-ésima cobaia resultar em sucesso e
caso contrário. Cada
tem expectativa
. Aqui estou assumindo que as cobaias/ensaios são independentes e com mesma probabilidade de sucesso
, que é a interpretação natural do enunciado.
Passo 3
Fórmula do valor esperado e por que ela vale.
Pela linearidade da esperança (um resultado que diz que a esperança da soma é a soma das esperanças, mesmo sem precisar de independência), temos:
Pela linearidade da esperança (um resultado que diz que a esperança da soma é a soma das esperanças, mesmo sem precisar de independência), temos:
Nessa fórmula:
-
é o número esperado de sucessos, -
é o número de cobaias (o que queremos achar), -
é a probabilidade de sucesso em cada cobaia.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao problema e resolver para
.
Queremos e sabemos
. Usando
obtemos a equação
Queremos
Agora isolamos
:
Para fazer essa divisão sem calculadora, note que
, então
Passo 5
Interpretação final e checagem.
Obtivemos , que é um inteiro, o que faz sentido porque não se pode usar uma fração de cobaia. Assim, com
cobaias e probabilidade de sucesso
por cobaia, o número esperado de sucessos será exatamente
.
Força aí — com essa conta pronta, você já pode justificar a resposta na prova de forma direta e clara.
Obtivemos
Força aí — com essa conta pronta, você já pode justificar a resposta na prova de forma direta e clara.