A demanda por lâmpadas pode ser caracterizada por
, onde cada unidade de
mede um milhão de caixas de luzes vendidas e
é o preço por caixa. Existem dois produtores de luzes, Everglow e Dimlit, cujas funções de custo são idênticas
e
.
Suponha que o gerente do Everglow adivinhe corretamente que Dimlit está jogando Cournot, então Everglow joga Stackelberg. Quais são os valores de equilíbrio de
e
? Quais são os lucros de cada empresa?
Suponha que o gerente do Everglow adivinhe corretamente que Dimlit está jogando Cournot, então Everglow joga Stackelberg. Quais são os valores de equilíbrio de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre competição entre duas empresas no mercado de lâmpadas, onde a demanda e os custos são definidos por certas fórmulas matemáticas. Vamos usar conceitos de Teoria dos Jogos, especificamente os modelos de Cournot e Stackelberg. Precisamos encontrar as quantidades produzidas por cada empresa, o preço de equilíbrio e os lucros de cada uma. Para isso, vamos precisar entender como as empresas tomam decisões estratégicas sobre quanto produzir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
A demanda no mercado é dada por:
onde:
- $ Q $ é a quantidade total vendida (em milhões de caixas)
- $ p $ é o preço por caixa
Cada empresa tem uma função de custo:
onde:
- $ q_i $ é a quantidade produzida pela empresa $ i $
Como há duas empresas, Everglow e Dimlit, a quantidade total no mercado será:
Passo 3
Como Everglow está jogando o papel de líder (Stackelberg) e sabe que Dimlit vai reagir de forma Cournot (isto é, escolher sua quantidade de produção considerando a produção de Everglow), vamos começar encontrando a função de reação de Dimlit.
A função de lucro de Dimlit é:
Substituindo $ p $ da demanda:
Como $ Q = q_{Everglow} + q_{Dimlit} $:
Passo 4
Para maximizar o lucro de Dimlit, derivamos a função de lucro em relação a $ q_{Dimlit} $ e igualamos a zero:
Simplificando:
Daí, isolamos $ q_{Dimlit} $:
Esta é a função de reação de Dimlit.
Passo 5
Agora, a Everglow, como líder, sabe que Dimlit vai responder conforme a função acima. Então, a Everglow vai escolher $ q_{Everglow} $ para maximizar seu próprio lucro, antecipando a reação de Dimlit.
A função de lucro da Everglow é:
Substituindo $ p $ e $ Q $:
Substituindo a função de reação de Dimlit:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Passo 6
Agora, para encontrar a quantidade que a Everglow vai produzir para maximizar seu lucro, derivamos a função de lucro em relação a $ q_{Everglow} $ e igualamos a zero:
Simplificando:
Isolando $ q_{Everglow} $:
Passo 7
Agora que temos $ q_{Everglow}^* $, podemos encontrar $ q_{Dimlit}^* $ usando a função de reação de Dimlit:
Substituindo $ q_{Everglow} = \frac{180}{7} $:
Passo 8
Com as quantidades $ q_{Everglow}^* $ e $ q_{Dimlit}^* $, podemos encontrar o preço de equilíbrio usando a demanda:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular os lucros de cada empresa usando as fórmulas de lucro:
Para Everglow:
Substituindo os valores:
Para Dimlit:
Substituindo os valores:
Resposta
No equilíbrio de Stackelberg, as quantidades produzidas e o preço são aproximadamente:
- $ q_{Everglow}^{*} \approx 25,71 $ milhões de caixas
- $ q_{Dimlit}^{*} \approx 21,43 $ milhões de caixas
- $ p^{*} \approx 52,86 $ reais por caixa
Os lucros são:
- Lucro da Everglow: aproximadamente 734,08 milhões de reais
- Lucro da Dimlit: aproximadamente 689,25 milhões de reais