Considere uma firma monopolista cuja função de Receita Média é p=120-0,02 q e a função de custo é C(q)=25.000+60 q. Qual será o volume de produção, o preço e o lucro da firma nesse caso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma firma que é monopolista, ou seja, a única no mercado. A gente vai trabalhar com conceitos de Receita Média, Custo e Lucro para descobrir qual a quantidade que a firma deve produzir, o preço que vai cobrar e qual vai ser o lucro dela. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções de receita e custo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que a gente tem:
  • Função de Receita Média §: $ p = 120 - 0,02q $
    Isso significa que o preço do produto diminui à medida que a quantidade q aumenta.
  • Função de Custo (C(q)): $ C(q) = 25.000 + 60q $
    Aqui, temos um custo fixo de 25.000 e um custo variável que aumenta com a quantidade produzida.

Passo 3

Agora, vamos calcular a Receita Total (R(q)). A receita total é o preço vezes a quantidade:
R(q) = p times q = (120 - 0,02q) times q = 120q - 0,02q^2

Passo 4

Em seguida, vamos definir a Função de Lucro (π(q)). O lucro é a receita total menos o custo total:
pi(q) = R(q) - C(q) = 120q - 0,02q^2 - (25.000 + 60q) = 60q - 0,02q^2 - 25.000

Passo 5

Para encontrar a quantidade que maximiza o lucro, precisamos derivar a função lucro em relação a q e igualar a zero:
dpidq = 60 - 0,04q = 0
Resolvendo para q:
60 - 0,04q = 0 Rightarrow 0,04q = 60 Rightarrow q = 600,04 = 1500
Então, a quantidade ideal é 1500 unidades.

Passo 6

Com a quantidade encontrada, vamos determinar o preço usando a função de Receita Média:
p = 120 - 0,02q = 120 - 0,02 times 1500 = 120 - 30 = 90
Então, o preço ideal é R$90.

Passo 7

Por fim, vamos calcular o lucro usando a função lucro:
pi(1500) = 60 times 1500 - 0,02 times 1500^2 - 25.000 = 90.000 - 45.000 - 25.000 = 20.000
Então, o lucro da firma será de R$20.000.

Resposta

A firma deve produzir 1500 unidades, vender cada uma por R$90 e terá um lucro de R$20.000.

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