A demanda por lâmpadas pode ser caracterizada por Q=100-p, onde cada unidade de Q mede um milhão de caixas de luzes vendidas e p é o preço por caixa. Existem dois produtores de luzes, Everglow e Dimlit, cujas funções de custo são idênticas C=10 qi+12 qi^2 e Q=q Everglow +q Dimlit .
A alta direção de ambas as empresas é substituída. Cada novo gerente reconhece de forma independente a natureza oligopolista da indústria de lâmpadas e recorre ao modelo de Cournot. Quais são os valores de equilíbrio de q Evergıow ^*, q Dimitit ^* e p^*? Quais são os lucros de cada empresa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a demanda por lâmpadas, que é dada por $ Q = 100 - p $, onde $ Q $ é a quantidade em milhões de caixas vendidas e $ p $ é o preço por caixa. Temos duas empresas, Everglow e Dimlit, com funções de custo iguais: $ C = 10 q_i + \frac{1}{2} q_i^{2} $, onde $ q_i $ é a quantidade produzida por cada empresa. A demanda total é a soma das quantidades produzidas pelas duas empresas: $ Q = q_{Everglow} + q_{Dimlit} $.
Como as empresas são poucas no mercado (oligopólio) e estão usando o modelo de Cournot, elas vão escolher suas quantidades de produção de forma a maximizar seus lucros, assumindo que a quantidade da outra empresa é fixa. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para encontrar o equilíbrio de Cournot: as quantidades produzidas por cada empresa ($ q_{Everglow}^{} $ e $ q_{Dimlit}^{} Q = 100 - p çí p^{*} $) e os lucros de cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada empresa determina sua melhor quantidade de produção. No modelo de Cournot, cada empresa escolhe $ q_i $ para maximizar seu lucro, assumindo que a quantidade da outra empresa $ q_j $ é fixa.
A receita de uma empresa é o preço multiplicado pela quantidade vendida: $ Receita = p \times q_i $. Sabemos que $ p = 100 - Q $, então a receita fica $ (100 - q_{Everglow} - q_{Dimlit}) \times q_i $.
O custo de produção é $ C = 10 q_i + \frac{1}{2} q_i^{2} $. Portanto, o lucro é a receita menos o custo:
qi

Passo 3

Para encontrar o máximo lucro, derivamos o lucro em relação a $ q_i $ e igualamos a zero:
qi
Simplificando:
dpiidqi = 100 - qEverglow - qDimlit - 10 - qi = 0
Como estamos lidando com equilíbrio de Cournot, assumimos que as empresas são simétricas, ou seja, $ q_{Everglow} = q_{Dimlit} = q $. Então, substituindo:
90 - qEverglow - qDimlit - qi = 0
Resolvendo para $ q $:
qEverglow = qDimlit = q

Passo 4

Agora que temos a quantidade produzida por cada empresa ($ q_{Everglow}^{} = q_{Dimlit}^{} = 30 $), vamos calcular o preço de equilíbrio usando a função de demanda:
qEverglow^* = qDimlit^* = 30

Passo 5

Por fim, vamos calcular os lucros de cada empresa. O lucro é dado por:
pii = (p times qi) - (10 qi + 12 qi^2)
Substituindo os valores:
pii = (40 times 30) - (10 times 30 + 12 times 30^2) = 1200 - (300 + 450) = 1200 - 750 = 450

Resposta

No equilíbrio de Cournot, cada empresa produz $ q_{Everglow}^{} = q_{Dimlit}^{} = 30 $ milhões de caixas. O preço de equilíbrio é $ p^{*} = 40 $ reais por caixa. Os lucros de cada empresa são iguais a 450 milhões de reais.

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