A demanda de suco de laranja é dada por D(x, y)=400-19 x+20 x y litros/mês, onde x representa o preço do suco local e y, o preço do concorrente. Avalia-se que, daqui a t meses, o prcço do litro do suco local scrá x=1+0,5 t e do concomente será y=1,2+0,2 t^{2}. Qual será a taxa de variação mensal da demanda do suco daqui a 4 meses?

Passo 1

O enunciado dá a demanda como função dos preços:
D(x,y)=400-19x+20xy
onde x é o preço do suco local e y o preço do concorrente. Também são dadas as leis de variação dos preços com o tempo (em meses):
x(t)=1+0,5t,\qquad y(t)=1,2+0,2t^{2}.
A pergunta é: qual é a taxa de variação mensal da demanda daqui a 4 meses? Em outras palavras, precisamos calcular \dfrac{dD}{dt} no instante t=4.
As informações relevantes listadas: D(x,y) explicitada acima; x(t) e y(t) explicitadas; o instante onde avaliar é t=4.

Passo 2

Ideia geral (sem pular etapas): a demanda depende de x e y, que por sua vez dependem do tempo t. Logo D também é função de t via composição D(t)=D\big(x(t),y(t)\big). Para achar a taxa de variação temporal usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{dD}{dt}=\frac{\partial D}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial D}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando isso de forma didática: \partial D/\partial x mede quanto D muda se só mudarmos x mantendo y fixo (taxa de variação parcial em relação a x); multiplicamos essa sensibilidade pela rapidez com que x muda no tempo ( dx/dt). Fazemos o mesmo com y e somamos porque as variações de x e y somam seus efeitos sobre D.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de D. A função é linear em x e em y (exceto pelo termo misto 20xy), então derivadas são simples:
\frac{\partial D}{\partial x}=-19+20y,
\frac{\partial D}{\partial y}=20x.
Aqui \partial D/\partial x é uma função de y (porque o termo 20xy quando derivado por x deixa 20y), e \partial D/\partial y é 20x.

Passo 4

Agora as derivadas temporais dos preços (derivadas normais de funções de uma variável):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(1+0,5t)=0,5,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(1,2+0,2t^{2}\big)=0,4t.
Explicação: x(t) é afim em t, então sua derivada é a constante 0,5. Para y(t), usamos a regra potência: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t, multiplicando pelo coeficiente 0,2 0,4t.

Passo 5

Avalie x e y no instante t=4:
x(4)=1+0,5\cdot 4=1+2=3,
y(4)=1,2+0,2\cdot 4^{2}=1,2+0,2\cdot 16=1,2+3,2=4,4.

Passo 6

Avalie as derivadas parciais em (x(4),y(4)) e as derivadas temporais em t=4:
\frac{\partial D}{\partial x}\Big|_{(3,4,4)}=-19+20\cdot 4,4=-19+88=69,
\frac{\partial D}{\partial y}\Big|_{(3,4,4)}=20\cdot 3=60,
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=4}=0,5,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=4}=0,4\cdot 4=1,6.
(Observação amigável: os valores numéricos vêm dos passos anteriores.)

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia e calculamos \dfrac{dD}{dt} em t=4:
\frac{dD}{dt}\Big|_{t=4}=69\cdot 0,5 + 60\cdot 1,6.
Calculemos cada termo:
69\cdot 0,5=34,5,
60\cdot 1,6=96.
Somando:
\frac{dD}{dt}\Big|_{t=4}=34,5+96=130,5.
Interpretação breve e motivadora: o sinal positivo significa que, naquele instante (daqui a 4 meses), a demanda está aumentando. Ou seja, a demanda está crescendo a uma taxa de 130,5 litros por mês naquele momento (a unidade formal da derivada aqui é “litros por mês por mês”, mas é usual dizer que a demanda aumenta 130,5 litros por mês naquele instante).

Resposta

\dfrac{dD}{dt}(4)=130,5 litros por mês

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