Determine a equação da reta tangente à curva x^{\frac{2}{3}}+x y+y^{\frac{2}{3}}=13 no ponto (1,8).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
x^{\frac{2}{3}} + x y + y^{\frac{2}{3}} = 13
no ponto (1,8). Informações dadas: a equação implícita da curva e o ponto (1,8) que pertence a ela. Pergunta direta: encontrar a equação da reta tangente nesse ponto (ou seja, encontrar seu coeficiente angular e a reta que passa por (1,8)).

Passo 2

Estratégia (resumida): para achar a reta tangente precisamos do coeficiente angular m no ponto, que é a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} avaliada em (1,8). Como a curva está dada por uma relação implícita entre x e y, vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, usando derivada implícita). Depois calculamos y'(1) e escrevemos a reta pelo ponto com a fórmula ponto-declive.

Passo 3

Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Regra da potência: para uma função u(x)=x^{n} com n qualquer real, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}.
  • Regra da cadeia: se temos u(x)=\big(v(x)\big)^{n} e v depende de x, então \dfrac{du}{dx}=n\big(v(x)\big)^{n-1}\cdot v'(x). No nosso caso, para y^{\frac{2}{3}} temos v(x)=y(x), então \dfrac{d}{dx}y^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\cdot y'.
  • Regra do produto: para u(x)=a(x)\,b(x), \dfrac{d}{dx}(a b)=a'\,b + a\,b'. No nosso caso, para x y(x) temos \dfrac{d}{dx}(x y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
    Vou aplicar essas regras termo a termo na equação dada.

Passo 4

Diferencio ambos os lados da equação
x^{\frac{2}{3}} + x y + y^{\frac{2}{3}} = 13
em relação a x. O lado direito 13 é constante, então sua derivada é 0. Aplicando as regras do passo anterior:
  • Derivada de \;x^{\frac{2}{3}}\; é
\frac{d}{dx}x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}.
  • Derivada de \;x y\; (produto x por y(x)) é
\frac{d}{dx}(x y)=y + x y'.
  • Derivada de \;y^{\frac{2}{3}}\; (regra da cadeia) é
\frac{d}{dx}y^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\,y'.
Somando tudo e igualando a 0, obtemos a equação diferencial implícita:
\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + y + x y' + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y' = 0.

Passo 5

Isolo os termos que contêm y' para resolver para y'. Reagrupando:
x y' + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y' + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + y = 0.
Coloco y' em evidência:
\bigg(x + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\bigg)y' + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + y = 0.
Isolando y':
y' = -\dfrac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + y}{\,x + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\,}.
Essa é a expressão geral da derivada implícita para a curva.

Passo 6

Agora avalio y' no ponto (1,8). Primeiro calculo as potências necessárias (com cuidado e explicando):
  • x^{-\frac{1}{3}} em x=1 é 1^{-\frac{1}{3}}=1.
  • y^{-\frac{1}{3}} em y=8 é 8^{-\frac{1}{3}}=(2^{3})^{-\frac{1}{3}}=2^{-1}=\frac{1}{2}.
Substituindo em
y' = -\dfrac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + y}{\,x + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\,}
temos
y'(1,8) = -\dfrac{\frac{2}{3}\cdot 1 + 8}{\,1 + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\,}.
Calculo o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: \frac{2}{3} + 8 = \frac{2}{3} + \frac{24}{3} = \frac{26}{3}, então com o sinal menos fica -\frac{26}{3}.
  • Denominador: 1 + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Logo
y'(1,8) = -\dfrac{\frac{26}{3}}{\frac{4}{3}} = -\dfrac{26}{4} = -\dfrac{13}{2}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente no ponto é m=-\dfrac{13}{2}.

Passo 7

Escrevo a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive. A fórmula é
y - y_0 = m(x - x_0),
com (x_0,y_0)=(1,8) e m=-\dfrac{13}{2}. Substituindo:
y - 8 = -\dfrac{13}{2}\big(x - 1\big).
Posso também colocar em forma explícita y=mx+b. Desenvolvendo:
y = -\dfrac{13}{2}x + \dfrac{13}{2} + 8 = -\dfrac{13}{2}x + \dfrac{29}{2}.
Ou em forma ax+by+c=0:
13x + 2y - 29 = 0.

Resposta

y - 8 = -\dfrac{13}{2}(x - 1) \n
y = -\dfrac{13}{2}x + \dfrac{29}{2} \n
13x + 2y - 29 = 0

Exercícios relacionados