Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Informações dadas: a equação implícita da curva e o ponto
que pertence a ela. Pergunta direta: encontrar a equação da reta tangente nesse ponto (ou seja, encontrar seu coeficiente angular e a reta que passa por
).
Passo 2
Estratégia (resumida): para achar a reta tangente precisamos do coeficiente angular
no ponto, que é a derivada
avaliada em
. Como a curva está dada por uma relação implícita entre
e
, vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
, tratando
como função de
(ou seja, usando derivada implícita). Depois calculamos
e escrevemos a reta pelo ponto com a fórmula ponto-declive.
Passo 3
Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Regra da potência: para uma função
com qualquer real, . Ex.: . - Regra da cadeia: se temos
e depende de , então . No nosso caso, para temos , então . - Regra do produto: para
, . No nosso caso, para temos .
Vou aplicar essas regras termo a termo na equação dada.
Passo 4
Diferencio ambos os lados da equação
em relação a
. O lado direito
é constante, então sua derivada é
. Aplicando as regras do passo anterior:
- Derivada de
é
- Derivada de
(produto por ) é
- Derivada de
(regra da cadeia) é
Somando tudo e igualando a
, obtemos a equação diferencial implícita:
Passo 5
Isolo os termos que contêm
para resolver para
. Reagrupando:
Coloco
em evidência:
Isolando
:
Essa é a expressão geral da derivada implícita para a curva.
Passo 6
Agora avalio
no ponto
. Primeiro calculo as potências necessárias (com cuidado e explicando):
-
em é . -
em é .
Substituindo em
temos
Calculo o numerador e o denominador separadamente:
- Numerador:
, então com o sinal menos fica . - Denominador:
.
Logo
Portanto o coeficiente angular da reta tangente no ponto é
.
Passo 7
Escrevo a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive. A fórmula é
com
e
. Substituindo:
Posso também colocar em forma explícita
. Desenvolvendo:
Ou em forma ax+by+c=0: