A produção de trigo
um determinado ano depende da temperatura média
e da quantidade anual de chuva
. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de
/ano, e a quantidade anual de chuva está crescendo à taxa de
ano . Eles também estimam que, no corrente nivel de produção,
e
. Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
Passo 1
O enunciado pede que estimemos a taxa de variação no tempo da produção de trigo, isto é, queremos
no instante atual. Informações dadas:
(sensibilidade da produção à temperatura),
(sensibilidade da produção à chuva), a taxa de variação da temperatura é
(graus Celsius por ano) e a taxa de variação da chuva é
(cm por ano). Não foi dada a unidade precisa de
, então usarei “unidades de produção” para a unidade de saída.
Passo 2
Explicando o que significam aquelas derivadas parciais:
é a variação instantânea de
quando só a temperatura
muda (mantendo
fixo). Por exemplo,
significa que, se a chuva não mudasse, um aumento de
grau em
reduziria a produção em
unidades de produção. Similarmente,
significa que, se a temperatura não mudasse, um aumento de
cm de chuva aumentaria a produção em
unidades de produção. Essas quantidades têm unidades consistentes:
tem unidades (unidades de produção) por (grau Celsius) e
tem unidades (unidades de produção) por (cm de chuva).
Passo 3
Agora a ideia principal (fórmula que vamos usar): como
depende de
e
, e ambos dependem do tempo
, a taxa total de variação de
em relação a
é obtida pela regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Aqui cada termo representa a contribuição da variação de uma variável (temperatura ou chuva) para a variação total de
.
Passo 4
Substituímos os valores fornecidos na fórmula. Primeiro calculamos cada termo separadamente:
Esse número significa que, devido ao aumento da temperatura, a produção estaria diminuindo
unidades de produção por ano (se a chuva permanecesse constante).
Em seguida:
Esse número significa que, devido ao aumento da chuva, a produção estaria aumentando
unidades de produção por ano (se a temperatura permanecesse constante).
Somando as contribuições:
Passo 5
Interpretação final: a contribuição positiva da chuva (mais chuva aumenta a produção) supera a contribuição negativa da temperatura (aquecimento reduz a produção), resultando numa taxa líquida positiva. Portanto, no instante atual, a produção está aumentando.