A produção de trigo F \mathrm{~cm} um determinado ano depende da temperatura média T e da quantidade anual de chuva Q. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,2^{\circ} \mathrm{C} /ano, e a quantidade anual de chuva está crescendo à taxa de 0,1 \mathrm{~cm} / ano . Eles também estimam que, no corrente nivel de produção, \frac{\partial F}{\partial T}=-2 e \frac{\partial F}{\partial Q}=8. Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo \frac{\partial F}{\partial t}

Passo 1

O enunciado pede que estimemos a taxa de variação no tempo da produção de trigo, isto é, queremos \dfrac{\partial F}{\partial t} no instante atual. Informações dadas: \dfrac{\partial F}{\partial T} = -2 (sensibilidade da produção à temperatura), \dfrac{\partial F}{\partial Q} = 8 (sensibilidade da produção à chuva), a taxa de variação da temperatura é \dfrac{dT}{dt}=0,2 (graus Celsius por ano) e a taxa de variação da chuva é \dfrac{dQ}{dt}=0,1 (cm por ano). Não foi dada a unidade precisa de F, então usarei “unidades de produção” para a unidade de saída.

Passo 2

Explicando o que significam aquelas derivadas parciais: \dfrac{\partial F}{\partial T} é a variação instantânea de F quando só a temperatura T muda (mantendo Q fixo). Por exemplo, \dfrac{\partial F}{\partial T}=-2 significa que, se a chuva não mudasse, um aumento de 1 grau em T reduziria a produção em 2 unidades de produção. Similarmente, \dfrac{\partial F}{\partial Q}=8 significa que, se a temperatura não mudasse, um aumento de 1 cm de chuva aumentaria a produção em 8 unidades de produção. Essas quantidades têm unidades consistentes: \dfrac{\partial F}{\partial T} tem unidades (unidades de produção) por (grau Celsius) e \dfrac{\partial F}{\partial Q} tem unidades (unidades de produção) por (cm de chuva).

Passo 3

Agora a ideia principal (fórmula que vamos usar): como F depende de T e Q, e ambos dependem do tempo t, a taxa total de variação de F em relação a t é obtida pela regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{dF}{dt}=\frac{\partial F}{\partial T}\,\frac{dT}{dt}+\frac{\partial F}{\partial Q}\,\frac{dQ}{dt}.
Aqui cada termo representa a contribuição da variação de uma variável (temperatura ou chuva) para a variação total de F.

Passo 4

Substituímos os valores fornecidos na fórmula. Primeiro calculamos cada termo separadamente:
\frac{\partial F}{\partial T}\,\frac{dT}{dt}=(-2)\cdot 0,2=-0,4.
Esse número significa que, devido ao aumento da temperatura, a produção estaria diminuindo 0,4 unidades de produção por ano (se a chuva permanecesse constante).
Em seguida:
\frac{\partial F}{\partial Q}\,\frac{dQ}{dt}=8\cdot 0,1=0,8.
Esse número significa que, devido ao aumento da chuva, a produção estaria aumentando 0,8 unidades de produção por ano (se a temperatura permanecesse constante).
Somando as contribuições:
\frac{dF}{dt}=-0,4+0,8=0,4.

Passo 5

Interpretação final: a contribuição positiva da chuva (mais chuva aumenta a produção) supera a contribuição negativa da temperatura (aquecimento reduz a produção), resultando numa taxa líquida positiva. Portanto, no instante atual, a produção está aumentando.

Resposta

\dfrac{\partial F}{\partial t}=0,4 unidades de produção por ano.

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