Usando a Transformada de Laplace resolva o P.V.I,
onde
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial com condições iniciais (P.V.I.):
- A função forçante é dada por partes:
- O enunciado também indica simbólica menção a um degrau,
, mas vou usar a definição em partes dada explicitamente acima. - Pedido: encontrar
que satisfaça a equação e as condições iniciais (solução explícita para todo ).]
Passo 2
Escolha de representação da força
(útil para Laplace) e transformadas iniciais:
- É conveniente escrever
usando o degrau unitário (função que vale para e para ). A partir da definição em partes,
- Definição útil: a transformada de Laplace de uma função
é . Notas importantes que vou usar:-
. -
. - Teorema do descolamento no tempo:
.
-
- Calculo a transformada de
:
Passo 3
Aplicando a Laplace à equação e isolando
:
- Tome transformada de ambos os lados. Usando
e ,
- Igualando à transformada de
,
- Assim
Vou inverter cada parcela separadamente.
Passo 4
Inversão da parcela
:
- Decomposição parcial:
- Inversa de Laplace dos termos simples:
- Logo
Passo 5
Inversão da parcela
Expandindo e agrupando potências de
:
Comparando coeficientes (lado direito é constante
):
Com
, da primeira equação vem
, logo
.
- Assim
- Inversas:
- Somando,
Passo 6
Inversão da parcela deslocada
usando o teorema do deslocamento:
- Já encontramos a inversa de
, que é
- Pelo teorema do deslocamento:
onde . - Aplicando com
e factor ,
- Ou seja,
Passo 7
Combinação das partes e expressão final da solução:
- Somando as inversas obtidas nos passos 4, 5 e 6:
- Podemos escrever de forma mais explícita em peças (mais adequada numa prova):
- Para
(onde ),
- Para
(onde ),
- Para
- Observação rápida (checagem de condições iniciais): em
tem-se e , como exigido.