Em uma demonstração durante a aula de fisica, a professora faz uma competição entre vários corpos rigidos arredondados, deixando-os rolar inclinado. Os corpos são: (1) uma esfera maciça (
), (2) anel
, (3) cilindro maciço de raio maior
. (4) casca esférica ou esfera oca
. (5) cilindro maciço de raio menor
.
(a) Qual é o corpo que alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?
(b) Qual a sequência de chegada dos corpos a base da rampa?
(a) Qual é o corpo que alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?
(b) Qual a sequência de chegada dos corpos a base da rampa?
Passo 1
O enunciado descreve uma competição em que vários corpos rígidos arredondados rolam por um plano inclinado até a base. As perguntas são:
(a) Qual corpo alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?
(b) Qual a sequência de chegada dos corpos à base da rampa?
(a) Qual corpo alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?
(b) Qual a sequência de chegada dos corpos à base da rampa?
Informações dadas (vou listar exatamente como no enunciado):
- Corpo
: esfera maciça com . - Corpo
: anel com . - Corpo
: cilindro maciço de raio maior com . - Corpo
: casca esférica (esfera oca) com . - Corpo
: cilindro maciço de raio menor com . (Aqui o raio de contato é para este corpo.)
Condições implícitas que vou usar (assumimos que a questão foi bem formulada):
- Todos partem do repouso do mesmo ponto e descem pelo mesmo plano inclinado com ângulo
e mesma extensão da pista. - Rolamento sem escorregamento.
- Massa de cada corpo é
(ou, quando necessário, aparece mas costuma cancelar).
Não vou resolver ainda, só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Derivação da fórmula da aceleração de um corpo que rola sem escorregar (a ferramenta que usamos para comparar velocidades/tempos).
Definições de variáveis:
-
ou : massa do corpo. -
: raio da superfície em contato com o plano inclinado (para o corpo este raio é ; para os outros é ). -
: ângulo do plano inclinado. -
: aceleração linear do centro de massa ao longo do plano. -
: força de atrito estático paralela ao plano (direção depende do caso). -
: aceleração angular em torno do centro de massa. -
: momento de inércia em relação ao centro de massa. -
: aceleração da gravidade.
Equações fundamentais para rolagem sem deslize:
- Equilíbrio de forças na direção do plano (segunda lei de Newton):
Aqui
é a componente do peso ao longo do plano e
é a força de atrito que atua para produzir rotação.
- Equação do torque em relação ao centro de massa:
Como não há escorregamento, a condição de não-deslizamento dá:
Substituo
na equação do torque:
Agora substituo
na equação de forças:
Isolo
:
Dividindo por
:
Portanto a fórmula final para a aceleração do centro de massa é
Observação didática rápida: essa fórmula mostra que quanto menor for a razão
(isto é, quanto mais concentrada a massa perto do centro), maior será
. Intuitivamente: menos massa “distribuída” longe do centro exige menos energia para rotação, sobrando mais para a translação.
Passo 3
Calcular a razão
para cada corpo (essa razão é o que entra na fórmula e determina a aceleração). Lembre-se: para o corpo
o raio de contato é
, então a razão é
.
- Corpo
(esfera maciça):
- Corpo
(anel):
- Corpo
(cilindro maciço de raio maior):
- Corpo
(casca esférica):
- Corpo
(cilindro maciço de raio menor, raio de contato ):
Observação: mesmo com raios diferentes, o valor adimensional
para dois cilindros maciços é o mesmo (
), desde que usemos o raio do próprio cilindro na expressão. Isso significa que dois cilindros maciços, mesmo de tamanhos diferentes, têm a mesma aceleração de queda quando rolam sem deslizar a partir do mesmo ângulo.
Passo 4
Substituir cada razão na fórmula
e comparar numericamante (vou expressar
em unidades de
para facilitar a comparação).
- Para o corpo
(esfera maciça):
- Para o corpo
(cilindro maciço, raio maior):
- Para o corpo
(cilindro maciço, raio menor):
- Para o corpo
(casca esférica):
- Para o corpo
(anel):
Agora ordenamos por
decrescente (maior aceleração chega primeiro):
Interpretação: o corpo com maior aceleração percorre a rampa mais rápido, logo chega antes. Dois cilindros maciços (
e
) têm acelerações iguais e portanto empatarão.
Passo 5
Conclusão qualitativa antes da resposta final:
- O mais rápido (chega primeiro) é a esfera maciça (
), porque tem a menor razão entre os dados. - Em seguida vêm os dois cilindros maciços (
e ), que empatam entre si. - Depois vem a casca esférica (
). - Por último o anel (
), que tem a maior fração de massa longe do eixo e, assim, a menor aceleração.
Resposta
(a)
— esfera maciça.
(b) Ordem de chegada: ,
e
(empate),
,
.
(b) Ordem de chegada: