Em uma demonstração durante a aula de fisica, a professora faz uma competição entre vários corpos rigidos arredondados, deixando-os rolar inclinado. Os corpos são: (1) uma esfera maciça ( I_{c u}=\frac{2}{5} M R^{2} ), (2) anel \left(\mathrm{U}_{\mathrm{CM}}=M R^{2}\right), (3) cilindro maciço de raio maior \left(I_{\mathrm{Cu}}=\frac{1}{2} M R^{2}\right). (4) casca esférica ou esfera oca \left(I_{C M}=\frac{2}{3} M R^{2}\right). (5) cilindro maciço de raio menor \left(I_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{2} M r^{2}\right).
(a) Qual é o corpo que alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?
(b) Qual a sequência de chegada dos corpos a base da rampa?

Passo 1

O enunciado descreve uma competição em que vários corpos rígidos arredondados rolam por um plano inclinado até a base. As perguntas são:
(a) Qual corpo alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?
(b) Qual a sequência de chegada dos corpos à base da rampa?
Informações dadas (vou listar exatamente como no enunciado):
  • Corpo 1: esfera maciça com I_{CM}=\tfrac{2}{5} M R^{2}.
  • Corpo 2: anel com I_{CM}=M R^{2}.
  • Corpo 3: cilindro maciço de raio maior com I_{CM}=\tfrac{1}{2} M R^{2}.
  • Corpo 4: casca esférica (esfera oca) com I_{CM}=\tfrac{2}{3} M R^{2}.
  • Corpo 5: cilindro maciço de raio menor com I_{CM}=\tfrac{1}{2} M r^{2}. (Aqui o raio de contato é r para este corpo.)
Condições implícitas que vou usar (assumimos que a questão foi bem formulada):
  • Todos partem do repouso do mesmo ponto e descem pelo mesmo plano inclinado com ângulo \theta e mesma extensão da pista.
  • Rolamento sem escorregamento.
  • Massa de cada corpo é M (ou, quando necessário, aparece mas costuma cancelar).
    Não vou resolver ainda, só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Derivação da fórmula da aceleração de um corpo que rola sem escorregar (a ferramenta que usamos para comparar velocidades/tempos).
Definições de variáveis:
  • m ou M: massa do corpo.
  • R: raio da superfície em contato com o plano inclinado (para o corpo 5 este raio é r; para os outros é R).
  • \theta: ângulo do plano inclinado.
  • a: aceleração linear do centro de massa ao longo do plano.
  • F: força de atrito estático paralela ao plano (direção depende do caso).
  • \alpha: aceleração angular em torno do centro de massa.
  • I_{CM}: momento de inércia em relação ao centro de massa.
  • g: aceleração da gravidade.
Equações fundamentais para rolagem sem deslize:
  1. Equilíbrio de forças na direção do plano (segunda lei de Newton):
M g \sin\theta - F = M a.
Aqui M g\sin\theta é a componente do peso ao longo do plano e F é a força de atrito que atua para produzir rotação.
  1. Equação do torque em relação ao centro de massa:
F R = I_{CM}\,\alpha.
Como não há escorregamento, a condição de não-deslizamento dá:
\alpha = \frac{a}{R}.
Substituo \alpha na equação do torque:
F R = I_{CM}\,\frac{a}{R} \quad\Rightarrow\quad F=\frac{I_{CM}}{R^{2}}\,a.
Agora substituo F na equação de forças:
M g \sin\theta - \frac{I_{CM}}{R^{2}}\,a = M a.
Isolo a:
M g \sin\theta = M a + \frac{I_{CM}}{R^{2}}\,a = a\left(M + \frac{I_{CM}}{R^{2}}\right).
Dividindo por M:
g \sin\theta = a\left(1 + \frac{I_{CM}}{M R^{2}}\right).
Portanto a fórmula final para a aceleração do centro de massa é
a=\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I_{CM}}{M R^{2}}}.
Observação didática rápida: essa fórmula mostra que quanto menor for a razão \dfrac{I_{CM}}{M R^{2}} (isto é, quanto mais concentrada a massa perto do centro), maior será a. Intuitivamente: menos massa “distribuída” longe do centro exige menos energia para rotação, sobrando mais para a translação.

Passo 3

Calcular a razão \dfrac{I_{CM}}{M R^{2}} para cada corpo (essa razão é o que entra na fórmula e determina a aceleração). Lembre-se: para o corpo 5 o raio de contato é r, então a razão é \dfrac{I_{CM}}{M r^{2}}.
  • Corpo 1 (esfera maciça):
\frac{I_{CM}}{M R^{2}}=\frac{\tfrac{2}{5} M R^{2}}{M R^{2}}=\tfrac{2}{5}=0{,}4.
  • Corpo 2 (anel):
\frac{I_{CM}}{M R^{2}}=\frac{M R^{2}}{M R^{2}}=1.
  • Corpo 3 (cilindro maciço de raio maior):
\frac{I_{CM}}{M R^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2} M R^{2}}{M R^{2}}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  • Corpo 4 (casca esférica):
\frac{I_{CM}}{M R^{2}}=\frac{\tfrac{2}{3} M R^{2}}{M R^{2}}=\tfrac{2}{3}\approx 0{,}6667.
  • Corpo 5 (cilindro maciço de raio menor, raio de contato r):
\frac{I_{CM}}{M r^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2} M r^{2}}{M r^{2}}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
Observação: mesmo com raios diferentes, o valor adimensional \dfrac{I_{CM}}{M R^{2}} para dois cilindros maciços é o mesmo ( \tfrac{1}{2}), desde que usemos o raio do próprio cilindro na expressão. Isso significa que dois cilindros maciços, mesmo de tamanhos diferentes, têm a mesma aceleração de queda quando rolam sem deslizar a partir do mesmo ângulo.

Passo 4

Substituir cada razão na fórmula a=\dfrac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I_{CM}}{M R^{2}}} e comparar numericamante (vou expressar a em unidades de g\sin\theta para facilitar a comparação).
  • Para o corpo 1 (esfera maciça):
a_{1}=\frac{g\sin\theta}{1+\tfrac{2}{5}}=\frac{g\sin\theta}{1{,}4}=\frac{10}{14}\,g\sin\theta \approx 0{,}7143\,g\sin\theta.
  • Para o corpo 3 (cilindro maciço, raio maior):
a_{3}=\frac{g\sin\theta}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{g\sin\theta}{1{,}5}=\frac{2}{3}\,g\sin\theta \approx 0{,}6667\,g\sin\theta.
  • Para o corpo 5 (cilindro maciço, raio menor):
a_{5}=\frac{g\sin\theta}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{3}\,g\sin\theta \approx 0{,}6667\,g\sin\theta.
  • Para o corpo 4 (casca esférica):
a_{4}=\frac{g\sin\theta}{1+\tfrac{2}{3}}=\frac{g\sin\theta}{1{,}6667}=0{,}6\,g\sin\theta.
  • Para o corpo 2 (anel):
a_{2}=\frac{g\sin\theta}{1+1}=\frac{g\sin\theta}{2}=0{,}5\,g\sin\theta.
Agora ordenamos por a decrescente (maior aceleração chega primeiro):
a_{1}\approx 0{,}7143> a_{3}=a_{5}\approx 0{,}6667> a_{4}=0{,}6> a_{2}=0{,}5.
Interpretação: o corpo com maior aceleração percorre a rampa mais rápido, logo chega antes. Dois cilindros maciços ( 3 e 5) têm acelerações iguais e portanto empatarão.

Passo 5

Conclusão qualitativa antes da resposta final:
  • O mais rápido (chega primeiro) é a esfera maciça ( 1), porque tem a menor razão \dfrac{I_{CM}}{M R^{2}} entre os dados.
  • Em seguida vêm os dois cilindros maciços ( 3 e 5), que empatam entre si.
  • Depois vem a casca esférica ( 4).
  • Por último o anel ( 2), que tem a maior fração de massa longe do eixo e, assim, a menor aceleração.

Resposta

(a) 1 — esfera maciça.
(b) Ordem de chegada: 1, 3 e 5 (empate), 4, 2.

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