(Exercício VII.6,2.pg 315) Calcule o fluxo do campo vetorial vec{v}(x, y, z) através da superfície S para:
(E) \vec{v}\left((x, y, z)=(1+x) \vec{\imath}+y z \vec{\jmath}-y \vec{k}\right. e S é a superfície formada pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} fechado pelo plano \mathrm{z}=2, com a normal \vec{n} tal que \vec{n} \cdot \vec{k}>0. ( S= cone + “tampa”)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial \vec{v} através da superfície S, onde
\vec{v}(x,y,z)=(1+x)\,\vec{\imath}+y z\,\vec{\jmath}-y\,\vec{k},
e S é a superfície fechada formada pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} fechado pelo plano z=2 (ou seja: lateral do cone + “tampa” no plano z=2). A normal \vec{n} é escolhida de modo que \vec{n}\cdot\vec{k}>0 em toda a superfície (isto é, as normais têm componente positiva na direção z).
Informações relevantes fornecidas:
  • Superfície S é fechada (cone lateral até z=2 mais o disco plano em z=2).
  • Normal exigida satisfaz \vec{n}\cdot\vec{k}>0 (normais com componente z positiva).
  • Campo vetorial explícito dado acima.
    A pergunta concreta: calcular \iint_{S}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS com essa orientação das normais.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática):
Podemos separar S em duas partes: a tampa (disco) S_{\text{top}} em z=2 e a lateral do cone S_{\text{cone}}. Então o fluxo total é a soma dos fluxos nessas duas partes:
\iint_{S}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{S_{\text{top}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_{\text{cone}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS.
Justificativa do método: o disco é simples (normal é \vec{k}), e a lateral do cone pode ser tratada por parametrização ou pelo método da superfície grafo z=f(x,y). Vou usar parametrização em coordenadas cilíndricas para a lateral (é prático aqui porque o cone tem simetria radial). Também faço um pequeno check pelo Teorema da Divergência no final (que dá o fluxo para a normal externa), para confirmar coerência dos sinais. Vou apresentar tudo passo a passo para você conseguir reproduzir na prova.
Lembrete/fórmula útil que vamos usar:
  • Para a tampa plana z=2 com normal para cima \vec{n}=\vec{k}, \vec{v}\cdot\vec{n}=v_{z}.
  • Para uma superfície parametrizada por \vec{r}(u,v), o elemento vetorial de superfície é \vec{r}_u\times\vec{r}_v\,du\,dv e o fluxo é \iint \vec{v}\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)\,du\,dv.
  • No caso do cone convém usar parâmetros \rho,\theta com \rho raio projetado no plano xy e \theta ângulo polar.

Passo 3

Fluxo pela tampa S_{\text{top}} (disco z=2):
Normal exigida tem componente z>0, e a normal natural para o disco é \vec{n}=\vec{k}. Portanto
\vec{v}\cdot\vec{n}=v_{z}=-y.
O disco é \{(x,y,2)\mid x^{2}+y^{2}\le 2^{2}\}. O fluxo pela tampa é
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}(-y)\,dA,
onde D é o disco de raio 2 no plano xy. Em coordenadas polares x=\rho\cos\theta,\;y=\rho\sin\theta, dA=\rho\,d\rho\,d\theta, e
\iint_{D}(-y)\,dA=-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta =-\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho.
A integral angular \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0. Logo
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS=0.
Bom: a tampa não contribui para o fluxo total — vantagem da simetria!

Passo 4

Parametrização da lateral do cone S_{\text{cone}} e cálculo do fluxo:
Parametrizamos o cone por
\vec{r}(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\;\rho\sin\theta,\;\rho),
com \rho\in[0,2], \theta\in[0,2\pi]. Explicando: no cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} temos z=\rho e a projeção no plano xy é o disco \rho\le 2.
Calculemos os vetores parciais:
\vec{r}_{\rho}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),\qquad \vec{r}_{\theta}=(-\rho\sin\theta,\;\rho\cos\theta,\;0).
O produto vetorial dá o elemento vetorial de superfície (orientado):
\vec{r}_{\rho}\times\vec{r}_{\theta} = \rho(-\cos\theta,\,-\sin\theta,\;1).
Observação importante: a componente z desse vetor é \rho>0, então esta parametrização produz a normal com componente em z positiva, exatamente a orientação exigida ( \vec{n}\cdot\vec{k}>0). Perfeito.
Agora avaliamos \vec{v} na superfície (substituindo x=\rho\cos\theta,\;y=\rho\sin\theta,\;z=\rho):
\vec{v}=(1+x,\;y z,\;-y)=(1+\rho\cos\theta,\;\rho^{2}\sin\theta,\;-\rho\sin\theta).
O produto escalar \vec{v}\cdot(\vec{r}_{\rho}\times\vec{r}_{\theta}) é
\begin{aligned} \vec{v}\cdot(\vec{r}_{\rho}\times\vec{r}_{\theta}) &= (1+\rho\cos\theta)(-\rho\cos\theta)+(\rho^{2}\sin\theta)(-\rho\sin\theta)+(-\rho\sin\theta)(\rho)\\\ &= -\rho\cos\theta-\rho^{2}\cos^{2}\theta-\rho^{3}\sin^{2}\theta-\rho^{2}\sin\theta. \end{aligned}
Portanto o fluxo pela lateral é
\iint_{S_{\text{cone}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\big(-\rho\cos\theta-\rho^{2}\cos^{2}\theta-\rho^{3}\sin^{2}\theta-\rho^{2}\sin\theta\big)\,d\rho\,d\theta.
Agora integramos termo a termo.
Termos que desaparecem por simetria:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, logo o termo com -\rho\cos\theta dá zero após integração em \theta.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, logo o termo com -\rho^{2}\sin\theta também dá zero.
Restam os dois termos com quadrados de seno/cosseno:
I_1=-\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho, \qquad I_2=-\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho.
Sabendo que \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi, e calculando as integrais radiais:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho=\frac{\rho^{3}}{3}\Big|_{0}^{2}=\frac{8}{3},\qquad \int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho=\frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=4,
temos
I_1=-\pi\cdot\frac{8}{3}=-\frac{8\pi}{3},\qquad I_2=-\pi\cdot 4=-4\pi.
Somando,
\iint_{S_{\text{cone}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS=I_1+I_2=-\frac{8\pi}{3}-4\pi=-\frac{20\pi}{3}.

Passo 5

Somando as duas contribuições (tampa + cone):
\iint_{S}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{S_{\text{top}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_{\text{cone}}}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS =0+ \left(-\frac{20\pi}{3}\right) =-\frac{20\pi}{3}.

Passo 6

Só para conferir a conta: o Teorema da Divergência diz que o fluxo através de uma superfície fechada com a normal apontando para fora do volume é \iiint_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV. Calculando a divergência:
\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial}{\partial x}(1+x)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(-y)=1+z+0=1+z.
Integrando sobre o volume V=\{0\le z\le2,\;x^{2}+y^{2}\le z^{2}\} em coordenadas cilíndricas:
\iiint_{V}(1+z)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{z}(1+z)\,r\,dr\,dz\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}\frac{z^{2}}{2}(1+z)\,dz =2\pi\left(\frac{1}{6}z^{3}+\frac{1}{8}z^{4}\right)_{0}^{2}= \frac{20\pi}{3}.
Isso é o fluxo com a normal apontando para fora do volume (outward). Na nossa questão, a normal na tampa está para fora, mas na lateral do cone a normal exigida (com componente positiva em z) é o oposto da normal externa do volume. Assim o fluxo pedido é o negativo do fluxo externo total, isto é -\tfrac{20\pi}{3}, que coincide com o resultado obtido diretamente. Bom sinal de consistência!

Resposta

-\dfrac{20\pi}{3}

Exercícios relacionados