(Exercício VII.6,2.pg 315) Calcule o fluxo do campo vetorial vec{v}(x, y, z) através da superfície S para:
(E) \vec{v}\left((x, y, z)=(1+x) \vec{\imath}+y z \vec{\jmath}-y \vec{k}\right. e S é a superfície formada pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} fechado pelo plano \mathrm{z}=2, com a normal \vec{n} tal que \vec{n} \cdot \vec{k}>0. ( S= cone + “tampa”)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial \vec{v} através da superfície S, onde
e S é a superfície fechada formada pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} fechado pelo plano z=2 (ou seja: lateral do cone + “tampa” no plano z=2). A normal \vec{n} é escolhida de modo que \vec{n}\cdot\vec{k}>0 em toda a superfície (isto é, as normais têm componente positiva na direção z).
Informações relevantes fornecidas:
Superfície S é fechada (cone lateral até z=2 mais o disco plano em z=2).
Normal exigida satisfaz \vec{n}\cdot\vec{k}>0 (normais com componente z positiva).
Campo vetorial explícito dado acima.
A pergunta concreta: calcular \iint_{S}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS com essa orientação das normais.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática):
Podemos separar S em duas partes: a tampa (disco) S_{\text{top}} em z=2 e a lateral do cone S_{\text{cone}}. Então o fluxo total é a soma dos fluxos nessas duas partes:
Justificativa do método: o disco é simples (normal é \vec{k}), e a lateral do cone pode ser tratada por parametrização ou pelo método da superfície grafo z=f(x,y). Vou usar parametrização em coordenadas cilíndricas para a lateral (é prático aqui porque o cone tem simetria radial). Também faço um pequeno check pelo Teorema da Divergência no final (que dá o fluxo para a normal externa), para confirmar coerência dos sinais. Vou apresentar tudo passo a passo para você conseguir reproduzir na prova.
Lembrete/fórmula útil que vamos usar:
Para a tampa plana z=2 com normal para cima \vec{n}=\vec{k}, \vec{v}\cdot\vec{n}=v_{z}.
Para uma superfície parametrizada por \vec{r}(u,v), o elemento vetorial de superfície é \vec{r}_u\times\vec{r}_v\,du\,dv e o fluxo é \iint \vec{v}\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)\,du\,dv.
No caso do cone convém usar parâmetros \rho,\theta com \rho raio projetado no plano xy e \theta ângulo polar.
Passo 3
Fluxo pela tampa S_{\text{top}} (disco z=2):
Normal exigida tem componente z>0, e a normal natural para o disco é \vec{n}=\vec{k}. Portanto
\vec{v}\cdot\vec{n}=v_{z}=-y.
O disco é \{(x,y,2)\mid x^{2}+y^{2}\le 2^{2}\}. O fluxo pela tampa é
Observação importante: a componente z desse vetor é \rho>0, então esta parametrização produz a normal com componente em z positiva, exatamente a orientação exigida (\vec{n}\cdot\vec{k}>0). Perfeito.
Agora avaliamos \vec{v} na superfície (substituindo x=\rho\cos\theta,\;y=\rho\sin\theta,\;z=\rho):
Só para conferir a conta: o Teorema da Divergência diz que o fluxo através de uma superfície fechada com a normal apontando para fora do volume é \iiint_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV. Calculando a divergência:
Isso é o fluxo com a normal apontando para fora do volume (outward). Na nossa questão, a normal na tampa está para fora, mas na lateral do cone a normal exigida (com componente positiva em z) é o oposto da normal externa do volume. Assim o fluxo pedido é o negativo do fluxo externo total, isto é -\tfrac{20\pi}{3}, que coincide com o resultado obtido diretamente. Bom sinal de consistência!