Informações relevantes que temos: a função a ser integrada ao longo da curva é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}; a curva está parametrizada por \vec{r}(t) no intervalo t\in[0,2\pi]. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha?
Passo 2
Definição e ideia prática (aula rápida): para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva parametrizada por \vec{r}(t), a integral de linha escalar é dada por
Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização (vetor velocidade) e \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é o comprimento desse vetor; intuitivamente, ds (um pequeno comprimento sobre a curva) corresponde a \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt. Então o passo prático é: (1) calcular \vec{r}\,'(t), (2) calcular sua norma, (3) substituir x,y,z por \vec{r}(t) na função f, e (4) integrar no intervalo dado.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização componente a componente: