Questão 1(2,0) : Calcule \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d s onde C é a hélice parametrizada por
\vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,d s
onde a curva C é a hélice dada pela parametrização (dados do enunciado)
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes que temos: a função a ser integrada ao longo da curva é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}; a curva está parametrizada por \vec{r}(t) no intervalo t\in[0,2\pi]. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha?

Passo 2

Definição e ideia prática (aula rápida): para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva parametrizada por \vec{r}(t), a integral de linha escalar é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(\vec{r}(t)\big)\,\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização (vetor velocidade) e \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é o comprimento desse vetor; intuitivamente, ds (um pequeno comprimento sobre a curva) corresponde a \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt. Então o passo prático é: (1) calcular \vec{r}\,'(t), (2) calcular sua norma, (3) substituir x,y,z por \vec{r}(t) na função f, e (4) integrar no intervalo dado.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização componente a componente:
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t)\quad\Longrightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).
(Observação: troquei \operatorname{sen} t por \sin t, é a mesma função seno.)

Passo 4

Calcular a norma de \vec{r}\,'(t):
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1}.
Usando a identidade trigonométrica básica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto a norma é constante ao longo da hélice: \sqrt{2}.

Passo 5

Substituir a parametrização na função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}:
f\big(\vec{r}(t)\big)=\cos^{2}t+\sin^{2}t+t^{2}=1+t^{2},
novamente usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 6

Montar a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,ds =\int_{0}^{2\pi} \big(1+t^{2}\big)\,\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt =\int_{0}^{2\pi} \big(1+t^{2}\big)\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\big(1+t^{2}\big)\,dt.

Passo 7

Calcular a integral de polinômios (passo a passo, para fazer na prova sem erro):
\int_{0}^{2\pi}\big(1+t^{2}\big)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt+\int_{0}^{2\pi}t^{2}\,dt =\big[t\big]_{0}^{2\pi}+\big[\tfrac{t^{3}}{3}\big]_{0}^{2\pi} =2\pi+\tfrac{(2\pi)^{3}}{3}.
Agora multiplicando por \sqrt{2}:
\sqrt{2}\left(2\pi+\frac{(2\pi)^{3}}{3}\right) =\sqrt{2}\left(2\pi+\frac{8\pi^{3}}{3}\right).
Podemos também fatorar 2\pi para uma forma alternativa:
2\pi\sqrt{2}\left(1+\frac{4\pi^{2}}{3}\right).

Resposta

\sqrt{2}\!\left(2\pi+\dfrac{8\pi^{3}}{3}\right)

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