Questão
:Mostre que o campo
é conservativo e calcule
onde
é qualquer curva de classe
de
até
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: mostrar que esse campo é conservativo e calcular a integral de linha
onde
é qualquer curva de classe
que vai do ponto
até o ponto
.
Informações relevantes dadas:
e os pontos inicial e final:
e
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se o campo é conservativo. A forma prática em duas variáveis é comparar as derivadas parciais cruzadas de
e
. Calculo as derivadas parciais:
Note que ambas são iguais:
.
Passo 3
Explico por que isto basta para concluir que
é conservativo. Teorema (caso prático): se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa do plano e
nessa região, então existe uma função potencial
tal que
. Aqui
e
são combinações de exponenciais, polinômios e seno — todas com derivadas contínuas em
— e
é simplesmente conexa. Logo a condição das derivadas parciais iguais garante que
é conservativo.
Passo 4
Agora vamos achar explicitamente uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 5
Determino
impondo que
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Comparo com
. Assim deve valer
Cancelando
dos dois lados, obtenho
Integro em
:
onde
é uma constante real. Podemos escolher
(potencial definido a uma constante é suficiente).
Passo 6
Logo uma função potencial conveniente é
Verificação rápida (checando derivadas):
e
, OK.
Passo 7
Para calcular a integral de linha entre
e
usamos o teorema fundamental para campos conservativos: se
, então a integral de linha entre
e
é
independente da curva
.
Passo 8
Calculo
nos pontos dados.
Para
:
Para
:
Passo 9
Portanto a integral é
Faço as simplificações: