1. Se a+b+c=0, mostre que
a times b=b times c=c times a

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores a,b,c em R^3 tal que
a+b+c=0
Queremos mostrar que
atimesb=btimesc=ctimesa
O conteúdo principal aqui é o produto vetorial, que é bilinear e anticomutativo:
  1. utimes(v+w)=utimesv+utimesw.
  2. utimesv=-,vtimesu.
  3. utimesu=0.

Passo 2

Da relação a+b+c=0 segue
c=-(a+b)

Passo 3

Usando bilinearidade e anticomutatividade, calculemos btimesc:
btimesc =btimesl(-(a+b)r) =-,btimes(a+b) =-l(btimesa+btimesbr)
Mas btimesb=0 e btimesa=-,atimesb. Logo,
btimesc =-l(-,atimesbr) =atimesb

Passo 4

Agora calculemos ctimesa:
ctimesa =l(-(a+b)r)timesa =-l(atimesa+btimesar)
De novo atimesa=0 e btimesa=-,atimesb, então
ctimesa =-l(-,atimesbr) =atimesb

Passo 5

Reunindo os resultados temos
atimesb =btimesc =ctimesa,
que era o que queríamos mostrar.

Resposta

atimesb=btimesc=ctimesa

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