Demonstrar que na astróide
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=\alpha^{\frac{2}{3}}
o segmento da tangente, compreendido entre os eixos das coordenadas, tem grandeza constante igual a \alpha.

Passo 1

O enunciado dá a astróide
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=\alpha^{\frac{2}{3}}
e pede para mostrar que o comprimento do segmento da reta tangente, entre seus eixos interceptos, é constante igual a \alpha. Vamos usar cálculo diferencial para obter a reta tangente em um ponto genérico (x_0,y_0), achar seus interceptos e medir a distância entre eles.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x,
\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}=0
logo a inclinação da tangente em (x_0,y_0) é
m = \frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_0,y_0)} = -\frac{x_0^{-\frac{1}{3}}}{y_0^{-\frac{1}{3}}} = -\frac{y_0^{\frac{1}{3}}}{x_0^{\frac{1}{3}}}.

Passo 3

A equação da reta tangente em (x_0,y_0) é
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Para achar o intercepto em x (quando y=0), basta resolver
0 - y_0 = m\,(x_{\!I}-x_0) \quad\Longrightarrow\quad x_{\!I} = x_0 - \frac{y_0}{m}.
Analogamente, o intercepto em y (quando x=0) é
y_{\!I}-y_0 = m\,(0 - x_0) \quad\Longrightarrow\quad y_{\!I} = y_0 - m\,x_0.

Passo 4

Substituindo m = -y_0^{1/3}/x_0^{1/3}:
x_{\!I} = x_0 - y_0\Big/\,\bigl(-\tfrac{y_0^{1/3}}{x_0^{1/3}}\bigr) = x_0 + x_0^{\frac{1}{3}}y_0^{\frac{2}{3}} = x_0^{\frac{1}{3}}\bigl(x_0^{\frac{2}{3}}+y_0^{\frac{2}{3}}\bigr),
y_{\!I} = y_0 -\Bigl(-\tfrac{y_0^{1/3}}{x_0^{1/3}}\Bigr)x_0 = y_0 + x_0^{\frac{2}{3}}y_0^{\frac{1}{3}} = y_0^{\frac{1}{3}}\bigl(x_0^{\frac{2}{3}}+y_0^{\frac{2}{3}}\bigr).
Como (x_0,y_0) está na astróide, x_0^{2/3}+y_0^{2/3}=\alpha^{2/3}. Portanto
x_{\!I} = \alpha^{\frac{2}{3}}\,x_0^{\frac{1}{3}}, \quad y_{\!I} = \alpha^{\frac{2}{3}}\,y_0^{\frac{1}{3}}.

Passo 5

O comprimento do segmento entre (x_{\!I},0) e (0,y_{\!I}) é
\sqrt{x_{\!I}^{2}+y_{\!I}^{2}} = \sqrt{\alpha^{\tfrac{4}{3}}\bigl(x_0^{\tfrac{2}{3}}+y_0^{\tfrac{2}{3}}\bigr)} = \sqrt{\alpha^{\tfrac{4}{3}}\cdot\alpha^{\tfrac{2}{3}}} = \sqrt{\alpha^{2}} = \alpha.

Resposta

O segmento da tangente interceptado pelos eixos tem sempre comprimento \alpha.

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