\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x}{x^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x^{2} - 4x + 4}
que é um caso de limite de função racional que tende a colocar o denominador em zero. Vamos usar fatoração e análise de sinal para concluir.

Passo 2

Observe que o denominador é um quadrado perfeito:
x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}.
Logo a expressão fica
\frac{x}{x^{2} - 4x + 4} \;=\;\frac{x}{(x - 2)^{2}}.

Passo 3

Ao aproximar x de 2 pela esquerda ( x \to 2^-), temos:
  • O numerador x tende a 2.
  • O denominador (x - 2)^{2} tende a zero, mas é sempre positivo (pois o quadrado de qualquer número real é não negativo e só é zero exatamente em x=2).
Portanto o quociente cresce em magnitude sem trocar de sinal, aproximando-se de +\infty.

Resposta

\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x^{2} - 4x + 4} = +\infty.

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