Demonstrar que o COE de um refrigerador de Carnot e o rendimento varepsilonC de uma máquina de Carnot estão relacionados por COE=Tf /(varepsilonC Tq).

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, num ciclo de Carnot, o coeficiente de desempenho (COE) do refrigerador e o rendimento varepsilonC da máquina (motor) de Carnot obedecem à relação
COE ;=;TfvarepsilonC,Tq,
Conteúdo envolvido: termodinâmica dos ciclos reversíveis de Carnot. Vamos usar
  1. definição de COE de refrigerador,
  2. definição de rendimento varepsilonC de motor,
  3. a relação Qf/Qq=Tf/Tq para processos reversíveis.

Passo 2

Definindo as grandezas:
  • Qf é o calor retirado do reservatório frio (temperatura Tf).
  • Qq é o calor cedido ao reservatório quente (temperatura Tq).
  • W é o trabalho fornecido ao refrigerador (ou extraído do motor).
Para o refrigerador, o coeficiente de desempenho é
COE ;=;QfW,
Para o motor de Carnot, o rendimento é
varepsilonC;=;WQq,
Além disso, num ciclo de Carnot reversível vale a relação de Clausius para trocas de calor:
QfQq ;=;TfTq,

Passo 3

Expressamos o trabalho W em função de Qq e Qf no motor de Carnot:
W ;=;Qq-Qf,
Então, na definição de COE temos
COE ;=;QfQq-Qf,

Passo 4

Perceba que o rendimento varepsilonC
varepsilonC =WQq =Qq-QfQq Longrightarrow Qq-Qf=varepsilonC,Qq,
Substituindo esse Qq-Qf na COE:
COE =QfvarepsilonC,Qq =1varepsilonC;QfQq,

Passo 5

Agora usamos a relação reversível Qf/Qq=Tf/Tq:
COE =1varepsilonC;TfTq =TfvarepsilonC,Tq,

Resposta

Demonstramos que, para o ciclo de Carnot,
boxedCOE ;=;TfvarepsilonC,Tq,

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