Demonstrar que o COE de um refrigerador de Carnot e o rendimento
de uma máquina de Carnot estão relacionados por
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, num ciclo de Carnot, o coeficiente de desempenho (COE) do refrigerador e o rendimento
da máquina (motor) de Carnot obedecem à relação
Conteúdo envolvido: termodinâmica dos ciclos reversíveis de Carnot. Vamos usar
- definição de COE de refrigerador,
- definição de rendimento
de motor, - a relação
para processos reversíveis.
Passo 2
Definindo as grandezas:
-
é o calor retirado do reservatório frio (temperatura ). -
é o calor cedido ao reservatório quente (temperatura ). -
é o trabalho fornecido ao refrigerador (ou extraído do motor).
Para o refrigerador, o coeficiente de desempenho é
Para o motor de Carnot, o rendimento é
Além disso, num ciclo de Carnot reversível vale a relação de Clausius para trocas de calor:
Passo 3
Expressamos o trabalho
em função de
e
no motor de Carnot:
Então, na definição de COE temos
Passo 4
Perceba que o rendimento
dá
Substituindo esse
na COE:
Passo 5
Agora usamos a relação reversível
:
Resposta
Demonstramos que, para o ciclo de Carnot,