Demonstrar que o conjunto
de vetores de
ó L.I.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que seja zero identicamente implica que todos os coeficientes são zero. Também vamos usar a ideia de transformar
em uma nova variável para aproveitar a propriedade de polinômios nulos em infinitos pontos.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Defina a função
Pela hipótese,
para todo
.
Passo 3
Seja agora a troca de variável
. À medida que
percorre
,
percorre continuamente o intervalo
, contendo infinitos pontos. Em termos de
, a igualdade
vira
para todo
. Mas um polinômio de grau no máximo 2 que é zero em infinitos pontos deve ter todos os coeficientes nulos. Logo
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.