Demonstrar que o conjunto \left\{1,0^{x}, e^{2 x}\right\} de vetores de C([0,1]) ó L.I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \{\,1,\;e^x,\;e^{2x}\}\subset C([0,1]) é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que seja zero identicamente implica que todos os coeficientes são zero. Também vamos usar a ideia de transformar e^x em uma nova variável para aproveitar a propriedade de polinômios nulos em infinitos pontos.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in[0,1],
a\cdot1 \;+\; b\,e^x \;+\; c\,e^{2x} \;=\; 0.
Defina a função
f(x)=a + b\,e^x + c\,e^{2x}.
Pela hipótese, f(x)=0 para todo x\in[0,1].

Passo 3

Seja agora a troca de variável t=e^x. À medida que x percorre [0,1], t percorre continuamente o intervalo [1,e], contendo infinitos pontos. Em termos de t, a igualdade f(x)=0 vira
P(t)=c\,t^2 + b\,t + a = 0
para todo t\in[1,e]. Mas um polinômio de grau no máximo 2 que é zero em infinitos pontos deve ter todos os coeficientes nulos. Logo
c=0,\quad b=0,\quad a=0.

Resposta

O conjunto \{\,1,\;e^x,\;e^{2x}\} é linearmente independente em C([0,1]).

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