Questão 2 [ 3,0 pontos] Sejam os pontos A=(1,-2) e B=(0,0), e o conjunto S=\left\{P \in \mathbb{R}^{2}\right. : \left.\langle\overrightarrow{B P}, \overrightarrow{B A}\rangle=d(P, B)^{2}\right\}. Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto ] Mostre que o conjuto S representa um círculo. Encontre as coordenadas do centro e o valor raio.
(b) [1,0 ponto ] Encontre as coordenadas da antipoda do ponto D=(1,0). Lembre-se que a antipoda do ponto D no círculo é o ponto que se encontra no círculo e é diametralmente oposto a ele.
(c) [0,5 ponto ] Use um sistema de eixos coordenados e faça o gráfico do círculo S indicando o centro, o raio, e os pontos A, B e D.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,-2) e B=(0,0) e define
S=\bigl\{P=(x,y)\in\mathbb{R}^2:\langle \overrightarrow{BP},\overrightarrow{BA}\rangle = d(P,B)^2\bigr\}.
Aqui vamos usar produto escalar e geometria analítica para obter a equação de S, reconhecer que é um círculo, depois completar quadrados para achar centro e raio, em seguida achar a antípoda de D=(1,0) e finalmente esboçar o círculo marcando os pontos pedidos.

Passo 2

Se P=(x,y), então \overrightarrow{BP}=(x,y) e \overrightarrow{BA}=(1,-2). Logo
\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BA}\rangle = x\cdot1 + y\cdot(-2) = x - 2y,
e
d(P,B)^2 = x^2 + y^2.
A condição do conjunto S é
x - 2y = x^2 + y^2
ou seja
x^2 + y^2 - x + 2y = 0.

Passo 3

Para colocar em forma padrão de círculo, completamos quadrados:
x^2 - x + y^2 + 2y = 0
\bigl(x-\tfrac12\bigr)^2 - \tfrac14 \;+\;\bigl(y+1\bigr)^2 - 1 = 0
\bigl(x-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y+1\bigr)^2 = 1 + \tfrac14 = \tfrac54.
Portanto S é o círculo de centro
C=\Bigl(\tfrac12,\,-1\Bigr)
e raio
r = \sqrt{\tfrac54} = \tfrac{\sqrt5}{2}.

Passo 4

A antípoda de D=(1,0) em relação a esse círculo é o ponto diametralmente oposto, dado por
D' = 2C - D = \Bigl(2\cdot\tfrac12 - 1,\;2\cdot(-1) - 0\Bigr) = (0,\,-2).

Passo 5

No plano cartesiano trace os eixos x e y, marque o centro C=(\tfrac12,-1) e desenhe o círculo de raio \tfrac{\sqrt5}{2}. Em seguida ponha os pontos
A=(1,-2),\quad B=(0,0),\quad D=(1,0)
e verifique que D'=(0,-2) fica exatamente do outro lado do círculo em relação a C.

Resposta

(a) S é o círculo de equação
\bigl(x-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y+1\bigr)^2 = \tfrac54,
logo o centro é C=(\tfrac12,-1) e o raio r=\tfrac{\sqrt5}{2}.
(b) A antípoda de D=(1,0) é D'=(0,-2).
(c) O esboço consiste em desenhar o círculo de centro \bigl(\tfrac12,-1\bigr) e raio \tfrac{\sqrt5}{2}, marcando nele os pontos A, B, D e D'.

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