Questão 2 [ 3,0 pontos] Sejam os pontos A=(1,-2) e B=(0,0), e o conjunto S=\left\{P \in \mathbb{R}^{2}\right. : \left.\langle\overrightarrow{B P}, \overrightarrow{B A}\rangle=d(P, B)^{2}\right\}. Use essas informações para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto ] Mostre que o conjuto S representa um círculo. Encontre as coordenadas do centro e o valor raio.
(b) [1,0 ponto ] Encontre as coordenadas da antipoda do ponto D=(1,0). Lembre-se que a antipoda do ponto D no círculo é o ponto que se encontra no círculo e é diametralmente oposto a ele.
(c) [0,5 ponto ] Use um sistema de eixos coordenados e faça o gráfico do círculo S indicando o centro, o raio, e os pontos A, B e D.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(1,-2) e B=(0,0) e define
Aqui vamos usar produto escalar e geometria analítica para obter a equação de S, reconhecer que é um círculo, depois completar quadrados para achar centro e raio, em seguida achar a antípoda de D=(1,0) e finalmente esboçar o círculo marcando os pontos pedidos.
Passo 2
Se P=(x,y), então \overrightarrow{BP}=(x,y) e \overrightarrow{BA}=(1,-2). Logo
\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BA}\rangle = x\cdot1 + y\cdot(-2) = x - 2y,
e
d(P,B)^2 = x^2 + y^2.
A condição do conjunto S é
x - 2y = x^2 + y^2
ou seja
x^2 + y^2 - x + 2y = 0.
Passo 3
Para colocar em forma padrão de círculo, completamos quadrados:
logo o centro é C=(\tfrac12,-1) e o raio r=\tfrac{\sqrt5}{2}.
(b) A antípoda de D=(1,0) é D'=(0,-2).
(c) O esboço consiste em desenhar o círculo de centro \bigl(\tfrac12,-1\bigr) e raio \tfrac{\sqrt5}{2}, marcando nele os pontos A, B, D e D'.