Questão 3 [ \mathbf{3 , 5} pontos] Seja A B C D um paralelogramo de lados consecutivos A B e B C tal que A=(2,1), B=(a, 2),\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{5} e M=(0,1), onde a \leq 0 e M é o ponto médio da diagonal B D. Use essas informações para responder as seguintes questões
(a) [1,5 ponto ] Encontre as coordenadas dos pontos B e D.
(b) [1,0 ponto ] Encontre as equações paramétricas da reta que contem o lado B C.
(c) [1,0 ponto ] Encontre a equação cartesiana da reta que contem o lado D C.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD com \,A=(2,1), \,B=(a,2), \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{5}, a\le0,
e o ponto M=(0,1) é o ponto médio da diagonal BD.
Para encontrar B e D vamos usar a condição de norma de \overrightarrow{AB} (fórmula da distância em \mathbb{R}^2) e a fórmula do ponto médio. Depois, achamos a reta BC por vetor direção e, por fim, a reta DC em forma cartesiana.

Passo 2

Aplicando a fórmula da norma,
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(a-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{(a-2)^2+1} \stackrel{!}{=}\sqrt{5},
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(a-2)^2+1=5 \quad\Longrightarrow\quad (a-2)^2=4 \quad\Longrightarrow\quad a-2=\pm2.
Como a\le0, a única solução é
a=2-2=0.
Portanto B=(0,2).

Passo 3

Se M é o ponto médio de BD, vale
M=\Bigl(\frac{B_x+D_x}{2},\,\frac{B_y+D_y}{2}\Bigr)=(0,1).
Como B=(0,2), temos
\frac{0+D_x}{2}=0\quad\Longrightarrow\quad D_x=0, \qquad \frac{2+D_y}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad D_y=0.
Logo D=(0,0).

Passo 4

Para a reta que contém BC, usamos B=(0,2) e C=D+\overrightarrow{AB}=(0,0)+(0-2,1) =(-2,1). Então um vetor direção é \overrightarrow{BC}=C-B=(-2,1)-(0,2)=(-2,-1). As equações paramétricas ficam
\begin{cases} x=0-2t\\\ y=2-1t \end{cases} \quad(t\in\mathbb{R}).

Passo 5

Para a reta que contém DC, usamos D=(0,0) e C=(-2,1). O vetor direção é \overrightarrow{DC}=(-2,1). Em forma cartesiana, o coeficiente angular é m=\tfrac{1}{-2}=-\tfrac12, então
y = -\tfrac12 x \quad\Longleftrightarrow\quad x + 2y = 0.

Resposta

(a) B=(0,2), D=(0,0).
(b) \displaystyle x=-2t,\;y=2-t,\;t\in\mathbb{R}.
(c) x+2y=0.

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