Questão 3 [ \mathbf{3 , 5} pontos] Seja A B C D um paralelogramo de lados consecutivos A B e B C tal que A=(2,1), B=(a, 2),\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{5} e M=(0,1), onde a \leq 0 e M é o ponto médio da diagonal B D. Use essas informações para responder as seguintes questões
(a) [1,5 ponto ] Encontre as coordenadas dos pontos B e D.
(b) [1,0 ponto ] Encontre as equações paramétricas da reta que contem o lado B C.
(c) [1,0 ponto ] Encontre a equação cartesiana da reta que contem o lado D C.
Passo 1
O enunciado dá um paralelogramo ABCD com \,A=(2,1), \,B=(a,2), \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{5}, a\le0,
e o ponto M=(0,1) é o ponto médio da diagonal BD.
Para encontrar B e D vamos usar a condição de norma de \overrightarrow{AB} (fórmula da distância em \mathbb{R}^2) e a fórmula do ponto médio. Depois, achamos a reta BC por vetor direção e, por fim, a reta DC em forma cartesiana.
Para a reta que contém BC, usamos B=(0,2) e C=D+\overrightarrow{AB}=(0,0)+(0-2,1) =(-2,1). Então um vetor direção é \overrightarrow{BC}=C-B=(-2,1)-(0,2)=(-2,-1). As equações paramétricas ficam
Para a reta que contém DC, usamos D=(0,0) e C=(-2,1). O vetor direção é \overrightarrow{DC}=(-2,1). Em forma cartesiana, o coeficiente angular é m=\tfrac{1}{-2}=-\tfrac12, então
y = -\tfrac12 x \quad\Longleftrightarrow\quad x + 2y = 0.