Demonstrar a desigualdade
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a desigualdade
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
e aparece o logaritmo natural de
, ou seja
.
A função que irá aparecer naturalmente é , definida e positiva em
.
A função que irá aparecer naturalmente é
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): comparar cada termo da soma com a área sob a curva
em intervalos unitários
. Vou usar que, em cada intervalo
com
, a função
é positiva e estritamente decrescente, então para todo
vale
Essa desigualdade ponto a ponto leva, ao integrar sobre
, a desigualdades entre áreas (e daí entre somas e integrais). A soma das áreas dos retângulos de base
e altura
dá
para cada
; a integral sobre
é
. A comparação cuidadosa entre essas áreas vai produzir exatamente as duas desigualdades pedidas.
Passo 3
Fazer a comparação intervalo a intervalo. Para cada inteiro
com
e para
temos
Observação sobre a rigidez: como
é estritamente decrescente, nas partes internas do intervalo as desigualdades são estritas; ao integrar veremos que as desigualdades entre as integrais também são estritas (a função não é constante em nenhum desses intervalos).
Agora integro essa desigualdade em
sobre o intervalo
:
Como as integrais das constantes são fáceis, isso dá
ou seja
e, por estrictez (função não constante), realmente
Passo 4
Somando as desigualdades obtidas no Passo 3 para
(somamos as integrais e as frações termo a termo) obtemos
O termo do meio é uma soma de integrais sobre intervalos disjuntos que cobre
, logo
Portanto
Passo 5
Calcular a integral do meio. Sabemos que a primitiva de
é
, logo
pois
. Substituindo isso na desigualdade do Passo 4 obtemos
Escrevendo as somas de forma explícita:
Isto é exatamente a desigualdade que queríamos demonstrar (com sinais estritos porque
é estritamente decrescente em
).