Diga de que ordem são as EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução. ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y^{\prime \prime \prime}=\cos x, \quad y=-\operatorname{sen} x+a x^{2}+b x+c

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Perguntas:
  • Qual é a ordem da EDO
  • Verificar que a função dada é solução
Dados fornecidos:
y^{\prime\prime\prime}=\cos x
y=-\sin x + a x^{2} + b x + c
onde a,b,c são constantes arbitrárias.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO: a ordem é o maior número de diferenciações (a maior derivada) que aparece na equação. Por exemplo, se aparece y'' e não aparece derivada de ordem maior, a equação é de ordem 2.
Aplicando isso ao nosso caso: a equação envolve y^{\prime\prime\prime}, que é a derivada de terceira ordem, e não aparece nenhuma derivada de ordem maior. Logo a ordem é \;3\;.

Passo 3

Plano para verificar se a função é solução: calcular as derivadas necessárias de y (até a terceira) e substituir na equação y^{\prime\prime\prime}=\cos x. Se a igualdade for verdadeira para todo x (para quaisquer a,b,c), então y é solução.
Antes de derivar, lembretes rápidos das regras de derivação que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Derivada de k (constante) é 0.
  • Derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Derivada é linear: \dfrac{d}{dx}(u+v)=u'+v' e \dfrac{d}{dx}(c\cdot u)=c\cdot u'.

Passo 4

Calculemos a primeira derivada y'. Aplicando as regras:
  • Derivada de -\sin x é -\cos x (porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, então com sinal menos fica -\cos x).
  • Derivada de a x^{2} é 2a x.
  • Derivada de b x é b.
  • Derivada de c é 0.
Portanto
y' = -\cos x + 2a x + b.

Passo 5

Agora a segunda derivada y''. Derivamos termo a termo:
  • Derivada de -\cos x é \sin x (pois \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, com sinal menos fica \sin x).
  • Derivada de 2a x é 2a (pois 2a é constante multiplicando x).
  • Derivada de b é 0.
Logo
y'' = \sin x + 2a.

Passo 6

Terceira derivada y'''. Derivando y'':
  • Derivada de \sin x é \cos x.
  • Derivada de 2a é 0 (constante).
Assim
y''' = \cos x.

Passo 7

Substituindo na EDO y^{\prime\prime\prime}=\cos x: do cálculo acima obtivemos exatamente
y'''=\cos x.
Portanto a igualdade da equação diferencial é satisfeita para todo x. Observação: os termos a x^{2}+b x+c desaparecem ao derivar três vezes (a terceira derivada de um polinômio de grau \le 2 é 0), por isso quaisquer valores de a,b,c são permitidos — a função é solução independentemente das constantes.

Resposta

Ordem: 3
Sim, a função y=-\sin x + a x^{2} + b x + c é solução da EDO para quaisquer constantes a,b,c.

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