Diga de que ordem são as EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução. (
são constantes arbitrárias).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Perguntas:
- Qual é a ordem da EDO
- Verificar que a função dada é solução
Dados fornecidos:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO: a ordem é o maior número de diferenciações (a maior derivada) que aparece na equação. Por exemplo, se aparece
e não aparece derivada de ordem maior, a equação é de ordem
.
Aplicando isso ao nosso caso: a equação envolve
, que é a derivada de terceira ordem, e não aparece nenhuma derivada de ordem maior. Logo a ordem é
.
Passo 3
Plano para verificar se a função é solução: calcular as derivadas necessárias de
(até a terceira) e substituir na equação
. Se a igualdade for verdadeira para todo
(para quaisquer
), então
é solução.
Antes de derivar, lembretes rápidos das regras de derivação que vamos usar:
-
e . - Derivada de
(constante) é . - Derivada de
é . - Derivada é linear:
e .
Passo 4
Calculemos a primeira derivada
. Aplicando as regras:
- Derivada de
é (porque , então com sinal menos fica ). - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 5
Agora a segunda derivada
. Derivamos termo a termo:
- Derivada de
é (pois , com sinal menos fica ). - Derivada de
é (pois é constante multiplicando ). - Derivada de
é .
Logo
Passo 6
Terceira derivada
. Derivando
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (constante).
Assim
Passo 7
Substituindo na EDO
: do cálculo acima obtivemos exatamente
Portanto a igualdade da equação diferencial é satisfeita para todo
. Observação: os termos
desaparecem ao derivar três vezes (a terceira derivada de um polinômio de grau
é
), por isso quaisquer valores de
são permitidos — a função é solução independentemente das constantes.
Resposta
Ordem:
Sim, a função é solução da EDO para quaisquer constantes
.
Sim, a função