(Taxas de juros) Mostre algebricamente que um investimento y(t), feito a partir de um depósito y_{0}, após t anos e a uma taxa de juros r, é igual a
y_{a}(t)=y_{0}[1+r]^{t}
(Juros compostos anuais)
y_{d}(t)=y_{0}[1+(r / 365)]^{365 t}
(Juros compostos diários).
Do cálculo, lembre que
[1+(1 / n)]^{n} \rightarrow e \text { quando } n \rightarrow \infty ;
daí [1+(n / n)]^{\text {nt }} \rightarrow e^{s t}; portanto,
y_{c}(t)=y_{0} e^{r t}
(Juros compostos contínuos).
Qual EDO é satisfeita por esta última função? Considere que o investimento inicial seja de \ 1000 er=6 %$. Calcule o valor do investimento após 1 ano e após 5 anos usando cada uma dessas três fórmulas. Há muita diferença entre os resultados obtidos com elas?

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas e dá estas informações:
  • Pedir para demonstrar algebricamente que um depósito inicial \;y_{0}\; cresce, após \;t\; anos e a uma taxa de juros anual \;r\;, segundo as fórmulas: y_{a}(t)=y_{0}[1+r]^{t}(juros compostos anuais), y_{d}(t)=y_{0}\biggl[1+\frac{r}{365}\biggr]^{365t}(juros compostos diários),
    e que, no limite de capitalizações infinitas por ano, y_{c}(t)=y_{0}e^{rt}(juros compostos continuamente).
  • Pedir também: qual EDO (equação diferencial ordinária) é satisfeita por \;y_{c}(t)\;.
  • Em seguida, com \;y_{0}=\$1000\; e \;r=6\%=0{,}06\;, calcular o valor do investimento após \;1\; ano e após \;5\; anos usando cada uma das três fórmulas, e dizer se há muita diferença entre os resultados.
Informações relevantes dadas:
  • Depósito inicial: \;y_{0}=1000\;.
  • Taxa anual nominal: \;r=0{,}06\;.
  • Para juros diários usa-se divisão por \;365\; dias.
  • Limite conhecido: \;\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}=e\; (essa pista indica como chegar ao exponencial).

Passo 2

Derivação algebricamente do caso de juros compostos anuais (fórmula \;y_{a}(t)=y_{0}[1+r]^{t}) — ideia e passo a passo simples.
  • Intuição: “juros compostos” significa que ao final de cada período (aqui, um ano) os juros são somados ao capital e no próximo período os juros incidem sobre esse capital maior.
  • Começando no tempo \;t=0\; com capital \;y_{0}\;:
    • Após um ano ( \;t=1\;), o capital é y(1)=y_{0}+(\text{juros sobre }y_{0})=y_{0}+r y_{0}=y_{0}(1+r).
    • Após dois anos ( \;t=2\;), os juros do segundo ano incidem sobre \;y(1)=y_{0}(1+r)\;, então y(2)=y(1)(1+r)=y_{0}(1+r)(1+r)=y_{0}(1+r)^{2}.
    • Repetindo esse raciocínio por \;t\; anos inteiros (aplicando a multiplicação por (1+r) a cada ano), obtemos y_{a}(t)=y_{0}(1+r)^{t}.
  • Observação: essa dedução é direta quando \;t\; é inteiro. Para \;t\; não inteiro, a fórmula anual costuma ser interpretada usando capitalizações parciais ou por continuação; para a prova normalmente consideramos \;t\; inteiro ou usamos as fórmulas de composição mais refinadas (diárias ou contínuas) para lidar com tempos fracionários.

Passo 3

Derivação algebricamente do caso de juros compostos diários (fórmula \;y_{d}(t)=y_{0}\bigl[1+\tfrac{r}{365}\bigr]^{365t}).
  • Ideia: se os juros são capitalizados diariamente, a cada dia aplica-se uma taxa igual a \;\tfrac{r}{365}\; (a taxa anual dividida por 365 dias). Em \;t\; anos há \;365t\; dias (assumindo anos de 365 dias para o modelo).
  • Começando com \;y_{0}\;:
    • Após um dia: \;y_{1}=y_{0}\bigl(1+\tfrac{r}{365}\bigr).
    • Após dois dias: \;y_{2}=y_{1}\bigl(1+\tfrac{r}{365}\bigr)=y_{0}\bigl(1+\tfrac{r}{365}\bigr)^{2}.
    • Repetindo por \;365t\; dias: y_{d}(t)=y_{0}\biggl(1+\frac{r}{365}\biggr)^{365t}.
  • Comentário didático: este é o mesmo raciocínio de multiplicação repetida que usamos para anuais, mas com um número maior de períodos menores (dias em vez de anos).

Passo 4

Passagem para juros compostos contínuos e prova do limite que leva a \;y_{c}(t)=y_{0}e^{rt}.
  • Objetivo: mostrar que, se capitalizamos \;n\; vezes por ano com taxa por período \;\tfrac{r}{n}\;, então, tomando \;n\to\infty\;, a quantidade
    y_{n}(t)=y_{0}\biggl(1+\frac{r}{n}\biggr)^{nt}
    tende a \;y_{0}e^{rt}.
  • Técnica padrão: usar logaritmo e o limite conhecido \;\lim_{u\to 0}\tfrac{\ln(1+u)}{u}=1\;.
    • Considere o logaritmo natural: \ln\bigl(y_{n}(t)\bigr)=\ln(y_{0})+nt\ln\biggl(1+\frac{r}{n}\biggr).
    • Foque na parte que depende de \;n\;: nt\ln\biggl(1+\frac{r}{n}\biggr)=t\cdot\frac{\ln\bigl(1+\frac{r}{n}\bigr)}{\frac{r}{n}}\cdot r.Aqui fizemos uma reescrita isolando \;\tfrac{r}{n}\; no denominador.
    • Agora use o limite \;\lim_{x\to 0}\tfrac{\ln(1+x)}{x}=1\;. Ao fazer \;n\to\infty\; temos \;x=\tfrac{r}{n}\to 0\;, logo \lim_{n\to\infty} nt\ln\biggl(1+\frac{r}{n}\biggr)=t\cdot 1\cdot r = r t.
    • Portanto, \lim_{n\to\infty}\ln\bigl(y_{n}(t)\bigr)=\ln(y_{0})+rt,e exponenciando ambos os lados: \lim_{n\to\infty} y_{n}(t)=y_{0}e^{rt}.
  • Conclusão: a fórmula de juros compostos contínuos é
    y_{c}(t)=y_{0}e^{rt}.

Passo 5

Encontrar a EDO satisfeita por \;y_{c}(t)=y_{0}e^{rt} e resolver explicando passo a passo (a prova de que é solução da EDO).
  • Primeiro calcule a derivada de \;y_{c}(t): \frac{d}{dt}\bigl(y_{c}(t)\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(y_{0}e^{rt}\bigr)=y_{0}\cdot r e^{rt}=r\bigl(y_{0}e^{rt}\bigr)=r\,y_{c}(t).
  • Portanto, \;y_{c}(t)\; satisfaz a EDO \frac{dy}{dt}=r y,com condição inicial y(0)=y_{0}.
  • Ver como resolver essa EDO (método de separação de variáveis), passo a passo:
    • Partimos de \;\frac{dy}{dt}=r y\;.
    • Separamos variáveis: \;\frac{1}{y}dy=r\,dt\;.
    • Integramos ambos os lados: \int\frac{1}{y}dy=\int r\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=rt+C,onde \;C\; é constante de integração.
    • Exponenciando: \;y=e^{C}e^{rt}. Chame \;e^{C}=C_{1}\; (constante positiva) então \;y=C_{1}e^{rt}.
    • Impõe-se a condição inicial \;y(0)=y_{0}\Rightarrow C_{1}=y_{0}. Assim \;y(t)=y_{0}e^{rt}, que é justamente \;y_{c}(t).
  • Resumo: a EDO é \;\dfrac{dy}{dt}=r y\; com \;y(0)=y_{0}\;, solução \;y(t)=y_{0}e^{rt}.

Passo 6

Cálculo numérico dos três casos com \;y_{0}=1000\; e \;r=0{,}06\;. Vou calcular os valores após \;t=1\; e \;t=5\; anos e arredondar a dois centavos (cents).
  • Primeiro, reorganizo as fórmulas: y_{a}(t)=1000\bigl(1+0{,}06\bigr)^{t}=1000(1{,}06)^{t},
y_{d}(t)=1000\biggl(1+\frac{0{,}06}{365}\biggr)^{365t},
y_{c}(t)=1000e^{0{,}06t}.
  • Para \;t=1\; ano:
    • Anual: y_{a}(1)=1000(1{,}06)=1000\cdot 1{,}06=1000{,}00\cdot 1{,}06=1060{,}00.
    • Diário:
      • Estimamos \;\bigl(1+\tfrac{0{,}06}{365}\bigr)^{365}\;. Uma maneira prática é usar a expansão do logaritmo: \ln\Bigl[\bigl(1+\tfrac{0{,}06}{365}\bigr)^{365}\Bigr]=365\ln\bigl(1+\tfrac{0{,}06}{365}\bigr)\approx 365\Bigl(\tfrac{0{,}06}{365}-\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{0{,}06}{365}\bigr)^{2}\Bigr).Calculando o termo dominante dá aproximadamente 0{,}05999503 e exponenciando obtemos o fator aproximadamente 1{,}06183123. Assim y_{d}(1)\approx 1000\cdot 1{,}06183123\approx 1061{,}83.
    • Contínuo: y_{c}(1)=1000e^{0{,}06}\approx 1000\cdot 1{,}06183655\approx 1061{,}84.
  • Para \;t=5\; anos:
    • Anual: y_{a}(5)=1000(1{,}06)^{5}.Calculando passo a passo: (1{,}06)^{2}=1{,}1236,\quad (1{,}06)^{3}=1{,}191016,\quad (1{,}06)^{4}=1{,}26247696,\quad (1{,}06)^{5}=1{,}3382255776.Logo y_{a}(5)\approx 1000\cdot 1{,}3382255776\approx 1338{,}23.
    • Diário:
      • Usando a aproximação do logaritmo similar ao caso de 1 ano, agora com \;nt=365\cdot 5=1825\; períodos: \ln\Bigl[\bigl(1+\tfrac{0{,}06}{365}\bigr)^{1825}\Bigr]\approx 1825\Bigl(\tfrac{0{,}06}{365}-\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{0{,}06}{365}\bigr)^{2}\Bigr)\approx 0{,}29997534,exponenciando dá o fator aproximadamente 1{,}34982562. Assim y_{d}(5)\approx 1000\cdot 1{,}34982562\approx 1349{,}83.
    • Contínuo: y_{c}(5)=1000e^{0{,}06\cdot 5}=1000e^{0{,}30}\approx 1000\cdot 1{,}34985881\approx 1349{,}86.
  • Resumo numérico (arredondado para dois centavos):
    • \;t=1\; ano: y_{a}(1)=\$1060{,}00,\quad y_{d}(1)\approx \$1061{,}83,\quad y_{c}(1)\approx \$1061{,}84.
    • \;t=5\; anos: y_{a}(5)\approx \$1338{,}23,\quad y_{d}(5)\approx \$1349{,}83,\quad y_{c}(5)\approx \$1349{,}86.

Passo 7

Comparação entre os resultados e interpretação (há muita diferença?).
  • Observações:
    • Para \;t=1\; ano a diferença entre o regime anual e o contínuo é pequena: \;y_{c}(1)-y_{a}(1)\approx\$1{,}84\;, ou cerca de \;0{,}17\%\; do valor anual.
    • Para \;t=5\; anos a diferença cresce em valor absoluto: \;y_{c}(5)-y_{a}(5)\approx \$11{,}63\;, que é cerca de \;0{,}87\%\; em relação ao caso anual.
    • A diferença entre juros compostos diários e contínuos é praticamente insignificante nos exemplos numéricos: para \;t=1\; a diferença é da ordem de centavos (menos de \$0{,}01) e para \;t=5\; é de cerca de \$0{,}03.
  • Conclusão prática: não há uma grande diferença prática entre capitalizar diariamente e capitalizar continuamente (esses dois são quase iguais); capitalizar apenas anualmente produz resultados ligeiramente menores, e a diferença aumenta com o tempo, mas mesmo a 5 anos o efeito é inferior a 1% no nosso exemplo \;r=6\%.

Resposta

A EDO satisfeita é \displaystyle \frac{dy}{dt}=r\,y com \;y(0)=y_{0}.\n \;y_{a}(1)=\$1060{,}00\n \;y_{d}(1)\approx\$1061{,}83\n \;y_{c}(1)\approx\$1061{,}84\n \;y_{a}(5)\approx\$1338{,}23\n \;y_{d}(5)\approx\$1349{,}83\n \;y_{c}(5)\approx\$1349{,}86\nDiferença prática: anual vs contínuo é pequena (≈0{,}17% em 1 ano e ≈0{,}87% em 5 anos); diário e contínuo são praticamente iguais (diferença de centavos).

Exercícios relacionados