(Taxas de juros) Mostre algebricamente que um investimento
, feito a partir de um depósito
, após
anos e a uma taxa de juros
, é igual a
(Juros compostos anuais)
(Juros compostos diários).
Do cálculo, lembre que
daí
; portanto,
(Juros compostos contínuos).
Qual EDO é satisfeita por esta última função? Considere que o investimento inicial seja de
1000
r=6 %$. Calcule o valor do investimento após 1 ano e após 5 anos usando cada uma dessas três fórmulas. Há muita diferença entre os resultados obtidos com elas?
(Juros compostos anuais)
(Juros compostos diários).
Do cálculo, lembre que
(Juros compostos contínuos).
Qual EDO é satisfeita por esta última função? Considere que o investimento inicial seja de
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas e dá estas informações:
- Pedir para demonstrar algebricamente que um depósito inicial
cresce, após anos e a uma taxa de juros anual , segundo as fórmulas: (juros compostos anuais), (juros compostos diários),
e que, no limite de capitalizações infinitas por ano,(juros compostos continuamente). - Pedir também: qual EDO (equação diferencial ordinária) é satisfeita por
. - Em seguida, com
e , calcular o valor do investimento após ano e após anos usando cada uma das três fórmulas, e dizer se há muita diferença entre os resultados.
Informações relevantes dadas:
- Depósito inicial:
. - Taxa anual nominal:
. - Para juros diários usa-se divisão por
dias. - Limite conhecido:
(essa pista indica como chegar ao exponencial).
Passo 2
Derivação algebricamente do caso de juros compostos anuais (fórmula
) — ideia e passo a passo simples.
- Intuição: “juros compostos” significa que ao final de cada período (aqui, um ano) os juros são somados ao capital e no próximo período os juros incidem sobre esse capital maior.
- Começando no tempo
com capital : - Após um ano (
), o capital é - Após dois anos (
), os juros do segundo ano incidem sobre , então - Repetindo esse raciocínio por
anos inteiros (aplicando a multiplicação por a cada ano), obtemos
- Após um ano (
- Observação: essa dedução é direta quando
é inteiro. Para não inteiro, a fórmula anual costuma ser interpretada usando capitalizações parciais ou por continuação; para a prova normalmente consideramos inteiro ou usamos as fórmulas de composição mais refinadas (diárias ou contínuas) para lidar com tempos fracionários.
Passo 3
Derivação algebricamente do caso de juros compostos diários (fórmula
).
- Ideia: se os juros são capitalizados diariamente, a cada dia aplica-se uma taxa igual a
(a taxa anual dividida por 365 dias). Em anos há dias (assumindo anos de 365 dias para o modelo). - Começando com
: - Após um dia:
. - Após dois dias:
. - Repetindo por
dias:
- Após um dia:
- Comentário didático: este é o mesmo raciocínio de multiplicação repetida que usamos para anuais, mas com um número maior de períodos menores (dias em vez de anos).
Passo 4
Passagem para juros compostos contínuos e prova do limite que leva a
.
-
Objetivo: mostrar que, se capitalizamos
vezes por ano com taxa por período , então, tomando , a quantidade tende a. -
Técnica padrão: usar logaritmo e o limite conhecido
. - Considere o logaritmo natural:
- Foque na parte que depende de
: Aqui fizemos uma reescrita isolando no denominador. - Agora use o limite
. Ao fazer temos , logo - Portanto,
e exponenciando ambos os lados:
- Considere o logaritmo natural:
-
Conclusão: a fórmula de juros compostos contínuos é
Passo 5
Encontrar a EDO satisfeita por
e resolver explicando passo a passo (a prova de que é solução da EDO).
- Primeiro calcule a derivada de
: - Portanto,
satisfaz a EDO com condição inicial - Ver como resolver essa EDO (método de separação de variáveis), passo a passo:
- Partimos de
. - Separamos variáveis:
. - Integramos ambos os lados:
onde é constante de integração. - Exponenciando:
. Chame (constante positiva) então . - Impõe-se a condição inicial
. Assim , que é justamente .
- Partimos de
- Resumo: a EDO é
com , solução .
Passo 6
Cálculo numérico dos três casos com
e
. Vou calcular os valores após
e
anos e arredondar a dois centavos (cents).
- Primeiro, reorganizo as fórmulas:
-
Para
ano: - Anual:
- Diário:
- Estimamos
. Uma maneira prática é usar a expansão do logaritmo: Calculando o termo dominante dá aproximadamente e exponenciando obtemos o fator aproximadamente . Assim
- Estimamos
- Contínuo:
- Anual:
-
Para
anos: - Anual:
Calculando passo a passo: Logo - Diário:
- Usando a aproximação do logaritmo similar ao caso de 1 ano, agora com
períodos: exponenciando dá o fator aproximadamente . Assim
- Usando a aproximação do logaritmo similar ao caso de 1 ano, agora com
- Contínuo:
- Anual:
-
Resumo numérico (arredondado para dois centavos):
-
ano: -
anos:
-
Passo 7
Comparação entre os resultados e interpretação (há muita diferença?).
- Observações:
- Para
ano a diferença entre o regime anual e o contínuo é pequena: , ou cerca de do valor anual. - Para
anos a diferença cresce em valor absoluto: , que é cerca de em relação ao caso anual. - A diferença entre juros compostos diários e contínuos é praticamente insignificante nos exemplos numéricos: para
a diferença é da ordem de centavos (menos de ) e para é de cerca de .
- Para
- Conclusão prática: não há uma grande diferença prática entre capitalizar diariamente e capitalizar continuamente (esses dois são quase iguais); capitalizar apenas anualmente produz resultados ligeiramente menores, e a diferença aumenta com o tempo, mas mesmo a 5 anos o efeito é inferior a 1% no nosso exemplo
.
Resposta
A EDO satisfeita é
com
.\n
\n
\n
\n
\n
\n
\nDiferença prática: anual vs contínuo é pequena (≈0{,}17% em 1 ano e ≈0{,}87% em 5 anos); diário e contínuo são praticamente iguais (diferença de centavos).