Estudar a convergência das séries de termos gerais:
u_{n}=\frac{1}{n^{3}}. Resp. Convergente.

Passo 1

O enunciado pede que estudemos a convergência da série cuja termo geral é u_{n}=\frac{1}{n^{3}}. Isso significa que devemos analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}.
Informações relevantes dadas:
\;u_{n}=\frac{1}{n^{3}} para n=1,2,3,\dots.
O termo geral é positivo para todo n.
A tarefa é decidir se a soma dos termos (a série) converge ou diverge, e, se possível, dizer algo sobre convergência absoluta.

Passo 2

O que significa “a série converge”? Vou lembrar de forma simples: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Para séries com termos positivos (como aqui), basta mostrar que a sequência S_N é limitada superiormente — se for crescente e limitada, converge. Também existe um teste prático muito usado para termos positivos: o teste da integral (ou o teste da série p — que é um caso particular).

Passo 3

Vou escolher o método: usar o teste da integral (ou reconhecer que é uma série p com p=3). Motivo: é o caminho mais direto e elementar — a função f(x)=x^{-3} é positiva e decrescente para x\ge1, então o teste da integral se aplica e é fácil calcular a integral impropria correspondente. Além disso esse teste é exatamente o que se costuma pedir em provas para séries do tipo 1/n^p.

Passo 4

Enunciado do teste da integral (forma prática que vamos usar): se f:(1,\infty)\to\mathbb{R} é contínua, positiva e decrescente e a_n=f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral impropria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge. Uma forma útil das desigualdades usadas na prova do teste é:
\int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{N} f(n) \le f(1) + \int_{1}^{N} f(x)\,dx.
Isso mostra que comportamento da integral e da soma parcial estão ligados.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: tome f(x)=\frac{1}{x^{3}}.
  • Verificação das hipóteses: f(x)>0 para x\ge1. A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-3}\right)=-3x^{-4},
que é negativa para x>0. Logo f é decrescente em [1,\infty). As hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 6

Calcule a integral impropria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} x^{-3}\,dx.
Integrando x^{-3}:
\int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^{2}} + C.
Portanto
\int_{1}^{R} x^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{R} = -\frac{1}{2R^{2}} -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{R^{2}}\right).
Fazendo R\to\infty obtemos
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2}.
Como a integral é finita, pelo teste da integral a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} converge.

Passo 7

Comentário adicional (útil na prova): como todos os termos são positivos, convergência da série implica também convergência absoluta — neste caso a noção de “absoluta” coincide com a própria série porque |u_n|=u_n. Além disso podemos dar um limite simples para a soma: usando as desigualdades do passo 4 e a integral já calculada, ao passar N\to\infty obtemos
\frac{1}{2} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
ou seja, a soma está entre \frac{1}{2} e \frac{3}{2}. (Valor real conhecido é aproximadamente 1,202056\dots, mas isso não é necessário para concluir convergência.)

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} é convergente (convergência absoluta).

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