Estudar a convergência das séries de termos gerais:
. Resp. Convergente.
Passo 1
O enunciado pede que estudemos a convergência da série cuja termo geral é
. Isso significa que devemos analisar a série
Informações relevantes dadas:
para
.
O termo geral é positivo para todo .
A tarefa é decidir se a soma dos termos (a série) converge ou diverge, e, se possível, dizer algo sobre convergência absoluta.
O termo geral é positivo para todo
A tarefa é decidir se a soma dos termos (a série) converge ou diverge, e, se possível, dizer algo sobre convergência absoluta.
Passo 2
O que significa “a série converge”? Vou lembrar de forma simples: a série
converge se a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
. Para séries com termos positivos (como aqui), basta mostrar que a sequência
é limitada superiormente — se for crescente e limitada, converge. Também existe um teste prático muito usado para termos positivos: o teste da integral (ou o teste da série
— que é um caso particular).
Passo 3
Vou escolher o método: usar o teste da integral (ou reconhecer que é uma série
com
). Motivo: é o caminho mais direto e elementar — a função
é positiva e decrescente para
, então o teste da integral se aplica e é fácil calcular a integral impropria correspondente. Além disso esse teste é exatamente o que se costuma pedir em provas para séries do tipo
.
Passo 4
Enunciado do teste da integral (forma prática que vamos usar): se
é contínua, positiva e decrescente e
, então a série
converge se, e somente se, a integral impropria
converge. Uma forma útil das desigualdades usadas na prova do teste é:
Isso mostra que comportamento da integral e da soma parcial estão ligados.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: tome
.
- Verificação das hipóteses:
para . A derivada é
que é negativa para
. Logo
é decrescente em
. As hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 6
Calcule a integral impropria:
Integrando
:
Portanto
Fazendo
obtemos
Como a integral é finita, pelo teste da integral a série
converge.
Passo 7
Comentário adicional (útil na prova): como todos os termos são positivos, convergência da série implica também convergência absoluta — neste caso a noção de “absoluta” coincide com a própria série porque
. Além disso podemos dar um limite simples para a soma: usando as desigualdades do passo 4 e a integral já calculada, ao passar
obtemos
ou seja, a soma está entre
e
. (Valor real conhecido é aproximadamente
, mas isso não é necessário para concluir convergência.)
Resposta
A série
é convergente (convergência absoluta).