Demonstrar que a função
f(x, y)=\arctan \frac{y}{x}
satisfaz a equação de Laplace
\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0 .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\arctan\frac{y}{x}
em um domínio onde x\neq0, e pede para mostrar que
\Delta f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0,
ou seja, que f é harmônica. Vamos usar a regra da cadeia para derivar em x e em y, calcular as segundas derivadas e somá-las.

Passo 2

Defina u=\tfrac{y}{x}. Então
f(x,y)=\arctan u,
logo, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+u^{2}}\;\frac{\partial u}{\partial x} \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+u^{2}}\;\frac{\partial u}{\partial y}.
Como u=y\,x^{-1}, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}, \quad 1+u^{2}=1+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Substituindo em \partial f/\partial x e em \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+u^{2}}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+u^{2}}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas. Primeiro
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-y\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1} =-y\Bigl(-1\Bigr)\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Em seguida
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =x\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1} =x\Bigl(-1\Bigr)\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Somando as duas segundas derivadas:
\Delta f =\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =0.

Resposta

\displaystyle \Delta f=0. Portanto, f(x,y)=\arctan\frac{y}{x} satisfaz a equação de Laplace.

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