Demonstrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
O enunciado define a função
em um domínio onde
, e pede para mostrar que
ou seja, que
é harmônica. Vamos usar a regra da cadeia para derivar em
e em
, calcular as segundas derivadas e somá-las.
Passo 2
Defina
. Então
logo, pela regra da cadeia,
Como
, temos
Passo 3
Substituindo em
e em
:
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas. Primeiro
Passo 5
Em seguida
Passo 6
Somando as duas segundas derivadas: