Considere a função definida pela regra
Sendo assim, demonstre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais de ordem dois via regra da cadeia e simplificação algébrica. Como a função se torna suave no domínio em que
e
, podemos aplicar derivação normalmente.
Passo 2
Definimos
de modo que
.
Pela regra da cadeia, usamos primeiro
Pela regra da cadeia, usamos primeiro
e
Como
e
, obtemos
Passo 3
Para
vale
. Logo
Mas
então
.
Passo 4
Substituindo em
e
e simplificando:
Passo 5
Agora computamos
.
Como
Como
usamos
com
. Logo
e portanto
Passo 6
De modo análogo, para
com
com
temos
Resposta
Como
segue-se que