Considere a função definida pela regra
f(x, y)=\arcsin \sqrt{\frac{x-y}{x}}
Sendo assim, demonstre que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} .

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\arcsin\sqrt{\frac{x-y}{x}}
e pede para mostrar que
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\,.
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais de ordem dois via regra da cadeia e simplificação algébrica. Como a função se torna suave no domínio em que x\neq0 e 0\le y\le x, podemos aplicar derivação normalmente.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x}}=\bigl(1-\tfrac yx\bigr)^{1/2}\,,
de modo que f(x,y)=\arcsin(u).
Pela regra da cadeia, usamos primeiro
\frac{\partial u}{\partial x} =\tfrac12\bigl(1-\tfrac yx\bigr)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(1-\tfrac yx\bigr)
e
\frac{\partial u}{\partial y} =\tfrac12\bigl(1-\tfrac yx\bigr)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(1-\tfrac yx\bigr).
Como \frac{\partial}{\partial x}(1-\tfrac yx)=\tfrac y{x^2} e \frac{\partial}{\partial y}(1-\tfrac yx)=-\tfrac1x, obtemos
u_x=\frac{y}{2x^2\sqrt{1-y/x}} \quad\text{e}\quad u_y=-\frac{1}{2x\sqrt{1-y/x}}.

Passo 3

Para f=\arcsin(u) vale \partial f/\partial u=1/\sqrt{1-u^2}. Logo
f_x =\frac{u_x}{\sqrt{1-u^2}}, \quad f_y =\frac{u_y}{\sqrt{1-u^2}}.
Mas
1-u^2 =1-\Bigl(1-\tfrac yx\Bigr) =\frac yx,
então \sqrt{1-u^2}=\sqrt{y/x}.

Passo 4

Substituindo em f_x e f_y e simplificando:
f_x =\frac{y}{2x^2\sqrt{1-y/x}}\;\bigg/\;\sqrt{\tfrac yx} =\frac{y}{2x\sqrt{y(x-y)}},
f_y =-\frac{1}{2x\sqrt{1-y/x}}\;\bigg/\;\sqrt{\tfrac yx} =-\frac{1}{2\sqrt{y(x-y)}}.

Passo 5

Agora computamos \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x).
Como
f_x=\frac{y}{2x\,[y(x-y)]^{1/2}} =\frac1{2x}\,\frac{y}{D}, \quad D=\sqrt{y(x-y)},
usamos \frac{d}{dy}\bigl(y/D\bigr) =\frac{D-yD'}{D^2} com D'=(x-2y)/(2D). Logo
\frac{d}{dy}\Bigl(\frac yD\Bigr) =\frac{xy}{2D^3},
e portanto
f_{xy} =\frac1{2x}\,\frac{xy}{2D^3} =\frac{y}{4\,[y(x-y)]^{3/2}}.

Passo 6

De modo análogo, para \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y)
com
f_y=-\tfrac12\,[y(x-y)]^{-1/2}
temos
f_{yx} =-\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,y\,[y(x-y)]^{-3/2} =\frac{y}{4\,[y(x-y)]^{3/2}}.

Resposta

Como
f_{xy} =f_{yx} =\frac{y}{4\,[y(x-y)]^{3/2}},
segue-se que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.

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