Achar as derivadas parciais de segunda ordem
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
supondo que z=f(u, v), onde u=x^{2}+y^{2} e v=x y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de z=f(u,v) em que
u = x^{2}+y^{2}, \quad v = x\,y.
O que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais, lembrando que \displaystyle z_x = f_{u}\,u_x + f_{v}\,v_x e \displaystyle z_y = f_{u}\,u_y + f_{v}\,v_y, e depois derivar de novo.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas de u e v e em seguida z_x e z_y:
u_x = 2x, \quad u_y = 2y, \quad v_x = y, \quad v_y = x.
Logo,
z_x = f_{u}\,2x + f_{v}\,y, \qquad z_y = f_{u}\,2y + f_{v}\,x.

Passo 3

Agora z_{xx}=\partial(z_x)/\partial x. Como \displaystyle z_x = 2x f_{u}(u,v) + y f_{v}(u,v), aplicamos a regra do produto e a cadeia:
z_{xx} = 2\,f_{u} + 2x\bigl(f_{uu}\,u_x + f_{uv}\,v_x\bigr) + y\bigl(f_{uv}\,u_x + f_{vv}\,v_x\bigr).
Substituindo u_x=2x e v_x=y:
z_{xx} = 2\,f_{u} + 2x\bigl(f_{uu}\,2x + f_{uv}\,y\bigr) + y\bigl(f_{uv}\,2x + f_{vv}\,y\bigr) = 2\,f_{u} + 4x^{2}f_{uu} + 4xy\,f_{uv} + y^{2}f_{vv}.

Passo 4

De modo análogo para z_{yy}=\partial(z_y)/\partial y, com \displaystyle z_y = 2y f_{u} + x f_{v}:
z_{yy} = 2\,f_{u} + 2y\bigl(f_{uu}\,u_y + f_{uv}\,v_y\bigr) + x\bigl(f_{uv}\,u_y + f_{vv}\,v_y\bigr).
Substituindo u_y=2y e v_y=x:
z_{yy} = 2\,f_{u} + 2y\bigl(f_{uu}\,2y + f_{uv}\,x\bigr) + x\bigl(f_{uv}\,2y + f_{vv}\,x\bigr) = 2\,f_{u} + 4y^{2}f_{uu} + 4xy\,f_{uv} + x^{2}f_{vv}.

Passo 5

Por fim z_{xy}=\partial(z_x)/\partial y. A partir de \displaystyle z_x = 2x f_{u} + y f_{v}:
z_{xy} = 2x\bigl(f_{uu}\,u_y + f_{uv}\,v_y\bigr) + \;f_{v} + y\bigl(f_{uv}\,u_y + f_{vv}\,v_y\bigr).
Com u_y=2y e v_y=x, obtemos
z_{xy} = 2x\bigl(f_{uu}\,2y + f_{uv}\,x\bigr) + f_{v} + y\bigl(f_{uv}\,2y + f_{vv}\,x\bigr) = f_{v} + 4xy\,f_{uu} + 2(x^{2}+y^{2})f_{uv} + xy\,f_{vv}.

Resposta

z_{xx} = 2\,f_{u} + 4x^{2}f_{uu} + 4xy\,f_{uv} + y^{2}f_{vv},
z_{yy} = 2\,f_{u} + 4y^{2}f_{uu} + 4xy\,f_{uv} + x^{2}f_{vv},
z_{xy} = f_{v} + 4xy\,f_{uu} + 2(x^{2}+y^{2})f_{uv} + xy\,f_{vv}.

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