Demonstrar que a função z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}\right) ( \varphi é diferenciável) satisfaz a equação:
y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = \varphi(x^2 + y^2),
com \varphi diferenciável, e pede para mostrar que
y \,\frac{\partial z}{\partial x}\;-\;x \,\frac{\partial z}{\partial y}\;=\;0.
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciais de z.

Passo 2

Defina u = x^2 + y^2. Como z = \varphi(u), pela regra da cadeia temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} = \varphi'(x^2 + y^2)\cdot 2x.

Passo 3

De forma análoga, para a derivada em relação a y obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = \varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} = \varphi'(x^2 + y^2)\cdot 2y.

Passo 4

Substituindo em y\,\frac{\partial z}{\partial x} - x\,\frac{\partial z}{\partial y}:
y\bigl(2x\varphi'(x^2 + y^2)\bigr) - x\bigl(2y\varphi'(x^2 + y^2)\bigr) =2xy\varphi'(x^2 + y^2)-2xy\varphi'(x^2 + y^2) =0.

Resposta

De fato
y \,\frac{\partial z}{\partial x} - x \,\frac{\partial z}{\partial y} = 0,
logo a função satisfaz a equação proposta.

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