Determinar \frac{d u}{d t}, supondo
u=\ln \sin \frac{x}{\sqrt{y}}, \quad \text { onde } \quad x=3 t^{2}, y=\sqrt{t^{2}+1}
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado dá
u = \ln \sin\frac{x}{\sqrt{y}},\quad x = 3t^2,\quad y = \sqrt{t^2+1},
e pede \frac{du}{dt}. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia em várias etapas: primeiro derivar u em função de uma variável auxiliar v = x/\sqrt{y}, depois derivar v em função de x e y, e por fim usar \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculemos as derivadas de x e y em relação a t:
Como x=3t^2,
\frac{dx}{dt} = 6t.
Como y=(t^2+1)^{1/2}, pela regra da cadeia
\frac{dy}{dt} = \frac12 (t^2+1)^{-1/2}\cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}.

Passo 3

Defina
v = \frac{x}{\sqrt{y}},
então
u = \ln\bigl(\sin v\bigr).
Pela regra da cadeia para logaritmo e seno,
\frac{du}{dt} = \frac{d}{dv}\bigl(\ln\sin v\bigr)\;\frac{dv}{dt} = \frac{\cos v}{\sin v}\,\frac{dv}{dt} = \cot v\;\frac{dv}{dt}.

Passo 4

Agora derivamos v = x\,y^{-1/2} em relação a t usando o produto e a cadeia:
\frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt}\,y^{-1/2} + x\;\frac{d}{dt}\bigl(y^{-1/2}\bigr).
Mas
\frac{d}{dt}\bigl(y^{-1/2}\bigr) = -\tfrac12\,y^{-3/2}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituindo \frac{dx}{dt}=6t, \frac{dy}{dt}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}} e x=3t^2, y=\sqrt{t^2+1}, temos
\frac{dv}{dt} = 6t\,y^{-1/2} - \tfrac12\,(3t^2)\,y^{-3/2}\,\frac{t}{\sqrt{t^2+1}} = 6t\,y^{-1/2} - \frac{3t^3}{2}\,y^{-5/2}.

Passo 6

Finalmente, voltando a \frac{du}{dt} = \cot v\;\frac{dv}{dt} e lembrando v = \dfrac{x}{\sqrt{y}} = \dfrac{3t^2}{\sqrt{\sqrt{t^2+1}}}, obtemos
\frac{du}{dt} = \cot\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{y}}\Bigr) \;\Bigl(6t\,y^{-1/2} - \tfrac{3t^3}{2}\,y^{-5/2}\Bigr).

Resposta

\frac{du}{dt} = \cot\!\Bigl(\frac{3t^2}{(t^2+1)^{1/4}}\Bigr) \Bigl[ 6t\,(t^2+1)^{-1/4} - \tfrac{3t^3}{2}\,(t^2+1)^{-5/4} \Bigr].

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