Determinar
, supondo
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.
Passo 1
O enunciado dá
e pede
. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia em várias etapas: primeiro derivar
em função de uma variável auxiliar
, depois derivar
em função de
e
, e por fim usar
e
.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
e
em relação a
:
Como ,
Como
Como
, pela regra da cadeia
Passo 3
Defina
então
Pela regra da cadeia para logaritmo e seno,
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
usando o produto e a cadeia:
Mas
Passo 5
Substituindo
,
e
,
, temos
Passo 6
Finalmente, voltando a
e lembrando
, obtemos