Sejam
e
vetores do espaço.
a) Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz torna-se uma identidade se, e somente se, os vetores
e
são múltiplos um do outro.
b) Prove, usando o item (a), a desigualdade triangular
Conclua que
se, e só se,
ou
é um múltiplo positivo de
.
a) Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
b) Prove, usando o item (a), a desigualdade triangular
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos provar primeiro a desigualdade de Cauchy–Schwarz em um espaço com produto interno, ou seja, mostrar que para quaisquer vetores
e
vale
e caracterizar quando ocorre igualdade (parte (a)). Em seguida, usar esse resultado para demonstrar a desigualdade triangular
e identificar o caso de igualdade (parte (b)).
Passo 2
Para provar Cauchy–Schwarz, considere a função escalar
onde
. Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos
para todo
. Expandindo
pelo produto interno:
Isso é um polinômio quadrático em
que nunca é negativo.
Passo 3
Como
, seu discriminante deve ser
:
Logo
e tomando raiz quadrada obtemos
Passo 4
Analisando igualdade em Cauchy–Schwarz, ela ocorre exatamente quando
, ou seja,
Nesse caso, o polinômio
tem raiz única e
para
. Logo
isto é,
e
são múltiplos. Reciprocamente, se
então
ocorrendo igualdade.
Passo 5
Agora usamos Cauchy–Schwarz para provar a desigualdade triangular. Observe
Tomando raiz em ambos os lados vem
Passo 6
Para ter igualdade em
, é preciso que
. Novamente, pela parte (a), isso acontece se e somente se
e
são múltiplos e o coeficiente de
em
satisfaz
(para que o produto interno seja positivo). Além disso, triviais
ou
também dão igualdade.
Resposta
a) Validamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz
e mostramos que a igualdade ocorre se, e somente se,
e
são múltiplos um do outro.
b) Demonstramos a desigualdade triangular
e concluímos que
se, e somente se,
,
ou
é um múltiplo positivo de
.