Achar \frac{d u}{d t}, supondo
u=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \text { onde } x=r \cos t, \quad y=r \sin t, \quad z=\tan t
Observação: Nas questões a seguir, de diferenciação formal desta lista de exercícios, vamos supor que estão asseguradas as condições de regularidade para as funções examinadas.

Passo 1

O enunciado define
u=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
com \,x=r\cos t,\;y=r\sin t,\;z=\tan t.
Queremos calcular \frac{du}{dt}. Vamos usar simplificação direta e a regra da cadeia para derivar em função de t.

Passo 2

Como r é constante em relação a t, temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}\cos^{2}t+r^{2}\sin^{2}t} =\sqrt{r^{2}}=r.

Passo 3

Substituindo em u, fica
u=\frac{\tan t}{r} =\frac{1}{r}\,\tan t.

Passo 4

Agora derivamos em relação a t. Sabendo que
\frac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^{2}t,
temos
\frac{du}{dt} =\frac{1}{r}\,\frac{d}{dt}(\tan t) =\frac{1}{r}\,\operatorname{sec}^{2}t.

Resposta

\frac{du}{dt}=\frac{\operatorname{sec}^{2}t}{r}.

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