Demonstrar que um grupo abeliano é simples, se e somente se, é cíclico e de ordem prima.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um grupo abeliano
é simples (isto é, não tem subgrupos normais próprios) se, e somente se,
é cíclico e de ordem prima. Vamos usar que em todo grupo abeliano todo subgrupo é normal e que num grupo cíclico de ordem
os subgrupos correspondem exatamente aos divisores de
.
Passo 2
Suponha que
seja abeliano e simples. Tome um elemento
com
. O subgrupo
gerado por
é normal em
(pois
é abeliano), e como
não tem subgrupos normais próprios, necessariamente
Logo,
é cíclico.
Passo 3
Sendo
cíclico de ordem
, temos
. Num grupo cíclico de ordem
, para cada divisor
de
existe exatamente um subgrupo de ordem
. Se
não fosse primo, haveria um divisor
com
, e então um subgrupo próprio de ordem
, normal em
, contradizendo a simplicidade. Concluímos que
é primo.
Passo 4
Agora, suponha que
seja cíclico de ordem um primo
. Então
, que é claramente abeliano. Os únicos divisores de
são
e
, logo os únicos subgrupos de
são o trivial e
inteiro. Assim,
não tem subgrupos normais próprios e é simples.
Resposta
Um grupo abeliano
é simples se, e somente se,
para algum número primo
.