Demonstrar que um grupo abeliano é simples, se e somente se, é cíclico e de ordem prima.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um grupo abeliano G é simples (isto é, não tem subgrupos normais próprios) se, e somente se, G é cíclico e de ordem prima. Vamos usar que em todo grupo abeliano todo subgrupo é normal e que num grupo cíclico de ordem n os subgrupos correspondem exatamente aos divisores de n.

Passo 2

Suponha que G seja abeliano e simples. Tome um elemento ain G com aneq e. O subgrupo lang<= arang<= gerado por a é normal em G (pois G é abeliano), e como G não tem subgrupos normais próprios, necessariamente
lang<= arang<= = G
Logo, G é cíclico.

Passo 3

Sendo G cíclico de ordem n, temos Gcong Z/nZ. Num grupo cíclico de ordem n, para cada divisor d de n existe exatamente um subgrupo de ordem d. Se n não fosse primo, haveria um divisor d com 1<d<n, e então um subgrupo próprio de ordem d, normal em G, contradizendo a simplicidade. Concluímos que n é primo.

Passo 4

Agora, suponha que G seja cíclico de ordem um primo p. Então Gcong Z/pZ, que é claramente abeliano. Os únicos divisores de p são 1 e p, logo os únicos subgrupos de G são o trivial e G inteiro. Assim, G não tem subgrupos normais próprios e é simples.

Resposta

Um grupo abeliano G é simples se, e somente se,
Gcong Z/pZ
para algum número primo p.

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