Prove que um grupo de ordem 28 tem um subgrupo normal de ordem 7 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um grupo finito com
, então existe em
um subgrupo normal de ordem
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Sylow, que dá condições sobre o número de subgrupos de ordem
num grupo de ordem finita.
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, se
é um primo que divide
, o número
de Sylow-
-subgrupos satisfaz duas condições:
onde
é a maior potência de
que divide
.
No nosso caso, para e
, a maior potência de
que divide
é
. Logo
No nosso caso, para
Passo 3
Os divisores de
são
. Desses, apenas
satisfaz a congruência
pois
e
. Portanto
Passo 4
Como há exatamente um subgrupo de Sylow-7 em
, esse subgrupo é único e, por uma consequência geral do Teorema de Sylow, qualquer Sylow-
-subgrupo único é normal. Logo
possui um subgrupo normal de ordem
.
Resposta
Em todo grupo
com
, o único Sylow-7-subgrupo é normal, e tem ordem
.