Prove que um grupo de ordem 28 tem um subgrupo normal de ordem 7 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se G é um grupo finito com lvert Grvert = 28, então existe em G um subgrupo normal de ordem 7. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Sylow, que dá condições sobre o número de subgrupos de ordem p^k num grupo de ordem finita.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, se p é um primo que divide lvert Grvert, o número np de Sylow- p-subgrupos satisfaz duas condições:
np equiv 1 pmod p e np mid lvert Grvertp^k,
onde p^k é a maior potência de p que divide lvert Grvert.
No nosso caso, para p=7 e lvert Grvert=28=4cdot 7, a maior potência de 7 que divide lvert Grvert é 7^1. Logo
n7 equiv 1 pmod 7 e n7 mid 287=4

Passo 3

Os divisores de 4 são 1,2,4. Desses, apenas 1 satisfaz a congruência
n7 equiv 1 pmod 7,
pois 2equiv2notequiv1pmod7 e 4equiv4notequiv1pmod7. Portanto
n7 = 1

Passo 4

Como há exatamente um subgrupo de Sylow-7 em G, esse subgrupo é único e, por uma consequência geral do Teorema de Sylow, qualquer Sylow- p-subgrupo único é normal. Logo G possui um subgrupo normal de ordem 7.

Resposta

Em todo grupo G com lvert Grvert=28, o único Sylow-7-subgrupo é normal, e tem ordem 7.

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