Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 36.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não há nenhum grupo simples de ordem
. Aqui usamos o Teorema de Sylow e a ação de conjugação de
sobre seus subgrupos de Sylow. Em linhas gerais, vamos contar os subgrupos de Sylow-3, forçar um número de tais subgrupos e então construir uma representação de
em
que impõe uma contradição com
.
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, o número
de subgrupos de ordem
satisfaz
As únicas possibilidades são
ou
. Se
, esse único Sylow-3 é normal em
, e então
não é simples. Logo, para tentar manter
simples teríamos que ter
Passo 3
Supondo
,
age por conjugação no conjunto
dos seus
Sylow-3. Isso define um homomorfismo
O núcleo
é interseção dos normalizadores desses Sylow-3, logo é um subgrupo normal de
. Se
, então
teria um subgrupo normal não trivial e não seria simples. Para que
fosse simples, precisaríamos de
, isto é,
injetora. Mas então
o que é impossível. Logo sempre surgirá um núcleo não trivial ou uma impossibilidade de ordem.
Resposta
Não existem grupos simples de ordem
.