Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 36.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não há nenhum grupo simples de ordem 36. Aqui usamos o Teorema de Sylow e a ação de conjugação de G sobre seus subgrupos de Sylow. Em linhas gerais, vamos contar os subgrupos de Sylow-3, forçar um número de tais subgrupos e então construir uma representação de G em S4 que impõe uma contradição com lvert Grvert=36.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, o número n3 de subgrupos de ordem 3^2=9 satisfaz
n3equiv1pmod3 e n3mid369=4
As únicas possibilidades são n3=1 ou n3=4. Se n3=1, esse único Sylow-3 é normal em G, e então G não é simples. Logo, para tentar manter G simples teríamos que ter
n3=4

Passo 3

Supondo n3=4, G age por conjugação no conjunto X dos seus 4 Sylow-3. Isso define um homomorfismo
varphicolon Glongrightarrow S4
O núcleo kervarphi é interseção dos normalizadores desses Sylow-3, logo é um subgrupo normal de G. Se kervarphineqe, então G teria um subgrupo normal não trivial e não seria simples. Para que G fosse simples, precisaríamos de kervarphi=e, isto é, varphi injetora. Mas então
Gcongvarphi(G)subseteq S4 Longrightarrow 36=lvert Grvert midlvert S4rvert=24,
o que é impossível. Logo sempre surgirá um núcleo não trivial ou uma impossibilidade de ordem.

Resposta

Não existem grupos simples de ordem 36.

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