Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 300.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe grupo simples de ordem
Vamos usar os teoremas de Sylow para encontrar o número de subgrupos de Sylow-5 e depois um argumento de ação por conjugação que força a existência de um subgrupo normal próprio.
Passo 2
Pelo teorema de Sylow, o número
de subgrupos de Sylow-5 satisfaz
-
, -
divide .
Os divisores deque são congruentes a módulo são
Passo 3
Se
, então há exatamente um subgrupo de Sylow-5 e ele é normal em
. Logo
não seria simples. Portanto, se
fosse simples teríamos forçosamente
Passo 4
Fixe um subgrupo de Sylow-5, digamos
. Seu normalizador
tem índice
pois o número de conjugados de
é igual ao índice do seu normalizador. Assim
age por conjugação no conjunto com 6 elementos
, dando um homomorfismo
O núcleo
é o maior subgrupo normal de
contido em todos os conjugados de
.
Passo 5
Pela primeira isomorfia,
logo
divide
. Se
fosse trivial, teríamos
dividindo
, o que é impossível pois
não é inteiro. Portanto
é um subgrupo normal não trivial de
, e assim
não é simples.
Resposta
Não existem grupos simples de ordem
.