Demonstrar que não existem grupos simples de ordem 300.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe grupo simples de ordem
300 = 2^2cdot 3cdot 5^2
Vamos usar os teoremas de Sylow para encontrar o número de subgrupos de Sylow-5 e depois um argumento de ação por conjugação que força a existência de um subgrupo normal próprio.

Passo 2

Pelo teorema de Sylow, o número n5 de subgrupos de Sylow-5 satisfaz
  1. n5equiv 1pmod5,
  2. n5 divide tfrac3005^2=12.
    Os divisores de 12 que são congruentes a 1 módulo 5 são
n5in1,6

Passo 3

Se n5=1, então há exatamente um subgrupo de Sylow-5 e ele é normal em G. Logo G não seria simples. Portanto, se G fosse simples teríamos forçosamente
n5 = 6

Passo 4

Fixe um subgrupo de Sylow-5, digamos P. Seu normalizador NG(P) tem índice
[G:NG(P)] = n5 = 6,
pois o número de conjugados de P é igual ao índice do seu normalizador. Assim G age por conjugação no conjunto com 6 elementos gPg^-1, dando um homomorfismo
varphi: G longrightarrow S6
O núcleo kervarphi é o maior subgrupo normal de G contido em todos os conjugados de NG(P).

Passo 5

Pela primeira isomorfia,
G/kervarphi ;simeq; varphi(G);subseteq; S6,
logo |G/kervarphi| divide |S6|=6!=720. Se kervarphi fosse trivial, teríamos |G|=300 dividindo 720, o que é impossível pois 720/300 não é inteiro. Portanto kervarphi é um subgrupo normal não trivial de G, e assim G não é simples.

Resposta

Não existem grupos simples de ordem 300.

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