6. Demonstrar a Lei de Senos da Trigonometria:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, num triângulo genérico
com lados opostos aos vértices nomeados por
vale a chamada Lei de Senos:
Para isso, vamos traçar uma altura e usar as definições de seno em triângulos retângulos.
Passo 2
Seja
o triângulo em questão. Traçamos a altura
de
sobre o lado
. Isso gera dois triângulos retângulos,
e
. Denotamos a medida da altura por
.
Passo 3
No triângulo retângulo
, o seno de
é a razão entre a altura
(cateto oposto a
) e a hipotenusa
. Logo,
Passo 4
De modo análogo, no triângulo retângulo
, o seno de
satisfaz
Passo 5
Igualando as duas expressões para
obtemos
Repetindo o argumento para as outras alturas (ou fazendo uma permutação cíclica dos vértices), concluímos que