6. Demonstrar a Lei de Senos da Trigonometria:

\frac{a}{\operatorname{sen} A}=\frac{b}{\operatorname{sen} B}=\frac{c}{\operatorname{sen} C}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, num triângulo genérico ABC com lados opostos aos vértices nomeados por
a = BC,\quad b = CA,\quad c = AB,
vale a chamada Lei de Senos:
\frac{a}{\operatorname{sen}A} \;=\;\frac{b}{\operatorname{sen}B} \;=\;\frac{c}{\operatorname{sen}C}.
Para isso, vamos traçar uma altura e usar as definições de seno em triângulos retângulos.

Passo 2

Seja ABC o triângulo em questão. Traçamos a altura AH de A sobre o lado BC. Isso gera dois triângulos retângulos, ABH e AHC. Denotamos a medida da altura por h = AH.

Passo 3

No triângulo retângulo ABH, o seno de B é a razão entre a altura h (cateto oposto a B) e a hipotenusa c. Logo,
\operatorname{sen}B = \frac{h}{c} \quad\Longrightarrow\quad h = c\,\operatorname{sen}B.

Passo 4

De modo análogo, no triângulo retângulo AHC, o seno de C satisfaz
\operatorname{sen}C = \frac{h}{b} \quad\Longrightarrow\quad h = b\,\operatorname{sen}C.

Passo 5

Igualando as duas expressões para h obtemos
c\,\operatorname{sen}B = b\,\operatorname{sen}C \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C}.
Repetindo o argumento para as outras alturas (ou fazendo uma permutação cíclica dos vértices), concluímos que
\frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C}.

Resposta

\frac{a}{\operatorname{sen}A} \;=\;\frac{b}{\operatorname{sen}B} \;=\;\frac{c}{\operatorname{sen}C}.

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