Uma placa de 1,00 \mathrm{~m} de largura e comprimento de 2,5 \mathrm{~m} é necessária para suportar uma força de tração na direção de 2,5 \mathrm{~m} de 4,0 \mathrm{MN}. Considere somente a hipótese de existência de trinca CENTRAL, de tamanho 2,3 \mathrm{~mm}. As três ligas de aluminio da tabela abaixo estão sendo consideradas para esta aplicação, para as quais o fator de segurança deve ser 1,5 e peso mínimo é importante. Que liga deve ser usada e qual a espessura necessária para a mesma?
Material \mathrm{K}_{\mathrm{m}} WPa \sqrt{\mathrm{m}} Sy, WPa
Alumínio
2024 26 455
7075 24 495
7178 33 490
Titânio
Ti-6AL-4V 115 910
Ti-6AL-4V 55 1035
Aço
4340 99 860
4340 60 1515
52100 14 2070

Passo 1

O enunciado pede escolher entre três ligas de alumínio (2024, 7075 e 7178) a que dá menor peso para suportar uma força de tração F=4{,}0\;\mathrm{MN} atuando num painel de largura w=1{,}00\;\mathrm{m} e comprimento 2{,}5\;\mathrm{m}. Há uma trinca central de extensão total 2a=2{,}3\;\mathrm{mm} e o fator de segurança deve ser N_s=1{,}5. Precisamos aplicar a teoria de fratura para achar a espessura mínima que impeça propagação instável da trinca e também verificar a tensão de escoamento contra o mesmo fator de segurança. Finalmente, entre as ligas, escolher a que tiver menor massa (espessura mínima).

Passo 2

A teoria da instabilidade de fratura para trinca central pede
K_I = \sigma \sqrt{\pi a} \le \frac{K_{IC}}{N_s},
onde \sigma = F/(w\,t) e a=(2{,}3\;\mathrm{mm})/2=1{,}15\times10^{-3}\;\mathrm{m}.
Isolando t:
t \;\ge\; \frac{F\,N_s\,\sqrt{\pi a}}{w\,K_{IC}}.

Passo 3

Calculamos \sqrt{\pi a}:
\sqrt{\pi a} = \sqrt{\pi\cdot1{,}15\times10^{-3}} \approx 0{,}0601\;\mathrm{m}^{1/2}.
Para cada liga alumínio, com K_{IC} dado em \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}, temos:
t_{\rm fratura} =\frac{4{,}0\times10^{6}\times1{,}5\times0{,}0601}{1{,}0\times K_{IC}\times10^{6}} =\frac{360600}{K_{IC}\times10^{6}}\;\mathrm{m}.
Substituindo:
  • Para 2024 K_{IC}=26: t_{\rm fratura}\approx0{,}0139\;\mathrm{m}.
  • Para 7075 K_{IC}=24: t_{\rm fratura}\approx0{,}0150\;\mathrm{m}.
  • Para 7178 K_{IC}=33: t_{\rm fratura}\approx0{,}0109\;\mathrm{m}.

Passo 4

Verificamos também a exigência de escoamento, pois a tensão média é \sigma=F/(w\,t) e deve satisfazer \sigma \le S_y/N_s. Assim
t \;\ge\; \frac{F\,N_s}{w\,S_y}.
Para cada liga:
t_{\rm esco} = \frac{4{,}0\times10^{6}\times1{,}5}{1{,}0\times S_y\times10^{6}} =\frac{6{,}0\times10^{6}}{S_y\times10^{6}}\;\mathrm{m} =\frac{6{,}0}{S_y}\;\mathrm{m}.
  • Para 2024 S_y=455: t_{\rm esco}\approx0{,}0132\;\mathrm{m}.
  • Para 7075 S_y=495: t_{\rm esco}\approx0{,}0121\;\mathrm{m}.
  • Para 7178 S_y=490: t_{\rm esco}\approx0{,}0122\;\mathrm{m}.

Passo 5

Para cada liga, a espessura final é o maior de t_{\rm fratura} e t_{\rm esco}:
  • 2024: \max(0{,}0139,\;0{,}0132)=0{,}0139\;\mathrm{m}.
  • 7075: \max(0{,}0150,\;0{,}0121)=0{,}0150\;\mathrm{m}.
  • 7178: \max(0{,}0109,\;0{,}0122)=0{,}0122\;\mathrm{m}.

Passo 6

Como todas têm densidade praticamente igual (~ 2{,}7\;\mathrm{g/cm^3}), a menor espessura dá o menor peso. A liga 7178 requer apenas 0{,}0122\;\mathrm{m}, menor que 2024 e 7075.

Resposta

Use a liga 7178, com espessura mínima de t=12{,}2\;\mathrm{mm}.

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